Question

9．某行星的半径为R，以其第一宇宙速度运行的卫星的周期为T₀，又知该行星的一颗同步卫星的线速度的大小为v，不考虑其他星球的影响，仅根据以上物理量不能求出（　　）

• A． 该行星的质量M
• B． 该行星的自转周期T
• C． 该行星表面的重力加速度g
• D． 该同步卫星距离行星表面的高度h

Answer 1

分析 （1）根据轨道星球表面重力等于万有引力求解重力加速度；
（2）第一宇宙速度的半径为R，根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}R}{{{T}_{0}}^{2}}$求出GM，再根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm′}{{（R+h）}^{2}}=m′\frac{{v}^{2}}{（R+h）}$求出同步卫星的高度．
（3）行星自转周期等于同步卫星的运转周期，根据T=$\frac{2π（R+h）}{v}$求出自转周期．

解答 解：A、以其第一宇宙速度运行的卫星的轨道半径即为行星的半径R，
根据万有引力提供向心力得：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}R}{{{T}_{0}}^{2}}$①
由于题目中没有告知万有引力常量G，所以无法求解该行星质量，故A正确；
B、星球表面重力等于万有引力，则有：
mg=m$\frac{4{π}^{2}R}{{{T}_{0}}^{2}}$
解得：该行星表面的重力加速度g=$\frac{4{π}^{2}R}{{{T}_{0}}^{2}}$，
设同步卫星的质量为m′，则有：
$G\frac{Mm′}{{（R+h）}^{2}}=m′\frac{{v}^{2}}{（R+h）}$②
由①②解得：
h=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{{T}_{0}}^{2}{v}^{2}}$，
同步卫星的周期T=$\frac{2π（R+h）}{v}$=$\frac{2π（R+\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{{T}_{0}}^{2}{v}^{2}}）}{v}$
该行星自转周期等于同步卫星周期，故BCD错误．
本题选不可求得的
故选：A

点评 解决本题的关键知道第一宇宙速度是卫星贴着行星表面做圆周运动的速度，知道卫星绕行星做圆周运动靠万有引力提供向心力．