Question

4．如图所示，传送带水平部分长为1m，以v₀=4m/s的速度沿顺时针方向匀速转动，先将一质量为m的物体从光滑曲面由静止释放，滑到底端后水平自然进入传送带部分，并从传送带右端滑出．已知传送带上表面离地面的高度为1.25m，物体与传送带间的动摩擦因数μ=0.4，物体从曲面上释放的点离传送带的高度为h．求：
（1）当h=0.5m时物体从传送带右端抛出的水平距离；
（2）释放点高度h不同时水平位移x也不同，试写出x随释放点高度h变化的关系式．

Answer 1

分析 （1）设物体滑到曲面底端的速度为v，根据机械能守恒求出速度，再根据平抛运动基本公式结合动能定理列式求解；
（2）分三种情况，根据平抛运动基本公式以及动能定理列式求解．

解答 解：（1）设物体滑到曲面底端的速度为v，根据机械能守恒得：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：v=$\sqrt{2gh}=\sqrt{10}m/s$
由动能定理得：$μmgs=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：$s=\frac{14-10}{2×4}=0.75m$
因0.75m＜1m，故物体还未滑到右端时，速度就增加到4m/s，故
x=$\sqrt{\frac{2h}{g}}{v}_{0}=2m$
（2）根据判断，可分为三种情况：
a、当h＜0.4m时，物体在传送带上加速到达传送带最右端时速度小于4m/s，设物体到最右端速度为v₁，
由动能定理得：$0.4mg×1=\frac{1}{2}m{{v}_{t}}^{2}-\frac{1}{2}m（\sqrt{2gh}）^{2}$
${v}_{t}=\sqrt{2gh+8}$
平抛水平位移x=$\frac{1}{2}\sqrt{2gh+8}$
b、当0.4m≤h≤1.2m时，物体运动到传送带最右端时，速度与传送带速度相等，故水平位移都是2m，
c、当h＞1.2m时，物体在传送带上减速到最右端时，速度大于4m/s，
$-0.4mg×1=\frac{1}{2}m{{v}_{t}}^{2}-\frac{1}{2}m{（\sqrt{2gh}）}^{2}$
解得：${v}_{t}=\sqrt{2gh-8}$
水平位移为x=$\frac{1}{2}\sqrt{2gh-8}$
综上可知，x=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}\sqrt{2gh+8}（h＜0.4m）}\\{2m（0.4m≤h≤1.2m）}\\{\frac{1}{2}\sqrt{2gh-8}（h＞1.2m）}\end{array}\right.$
答：（1）当h=0.5m时物体从传送带右端抛出的水平距离为2m；
（2）x随释放点高度h变化的关系式为x=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}\sqrt{2gh+8}（h＜0.4m）}\\{2m（0.4m≤h≤1.2m）}\\{\frac{1}{2}\sqrt{2gh-8}（h＞1.2m）}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查了平抛运动基本公式、动能定理以及机械能守恒定律的直接应用，解题的关键是能正确判断物体的运动情况，特别是第二问，要分三种情况分析，难度较大．