Question

如图所示光滑管形圆轨道半径为R（管径远小于R），小球a、b大小相同，质量相同，均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动．两球先后以相同速度v通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，以下说法正确的是（　　）

• A．速度v至少为

  5gR

  ，才能使两球在管内做圆周运动?
• B．当v=

  5gR

  时，小球b在轨道最高点对轨道无压力?
• C．当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a比小球b所需向心力大5mg?
• D．只要v≥

  5gR

  ，小球a对轨道最低点压力比小球b对轨道最高点压力都大6mg

Answer 1

分析：要使小球能通过最高点，只要小球的速度大于零即可；而当向心力等于重力时，小球对轨道没有压力，由向心力公式可求得小球在最高点时速度；再由机械能守恒可求得小球在最低点时的速度，及最低点时所需要的向心力，即可求得最低点与最高点处压力的差值．

解答：解：A、因小球在管内转动，则内管可对小球提供向上的支持力，故可看作是杆模型；
故小球的最高点的速度只要大于零，小球即可通过最高点，故A错误；
B、当小球对轨道无压力时，则有：mg=m

v12

R

；
解得：v₁=

gR

；即当速度为

gR

时，小球在轨道最高点对轨道无压力；
由机械能守恒定律可得，mg2R=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²；
求小球在最低点时的速度v₂=

5gR

，故最低点速度至少为

5gR

，才能使两球在管内做圆周运动；当速度为

5gR

时，小球在最高点对轨道无压力；故B正确；
C、在最高点无压力时，向心力F₁=mg；最低点时，向心力F₂=m

v 2 2

r

=5mg；即a球比b球所需向心力大4mg；故C错误；
D、在最高点时，T₁+mg=m

v 2 1

R

；解得T₁=m

v 2 1

R

-mg；
最低点时，T₂-mg=m

v 2 2

R

；解得T₂=m

v 2 2

R

+mg；
T₂-T₁=2mg+m

v 2 2

R

-

v 2 1

R

；
由机械能守恒可得：mg2R=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²；
可得：

m v 2 2 -m v 2 1

R

=4mg；
则可得：T₂-T₁=6mg；即只要能做完整的圆周运动，压力之差都等于6mg；故D正确；
故选B、D；

点评：小球在竖直面内的圆周运动，若是用绳拴着只有重力小于等于向心力时，小球才能通过；而用杆或在管内运动的小球，只要速度大于零，小球即可通过最高点．