Question

14．如图所示，在半径为R的圆形区域内有水平向里的匀强磁场，圆形区域右侧距离圆形区域右边缘为d处有一竖直感光板．圆形区域上侧有两块平行金属极板，金属极板上侧有一粒子源，粒子源中可以发射速度很小的质量为m的2价阳离子（带电量为+2e），离子重力不计．
（1）若离子从圆形区域顶点P以速率v₀平行于纸面进入磁场，求在两块平行金属极板上所加的电压U；
（2）若离子从圆形区域顶点P以速率v₀对准圆心射入，若它刚好从圆形区域最右侧射出，垂直打在竖直感光板上，求圆形区域内磁场的磁感应强度B；
（3）若圆形区域内的磁场的磁感应强度为B，离子以某一速度对准圆心射入，若它从圆形区域右侧射出，以与竖直感光板成60°的角打在竖直感光板上，求它打到感光板上时的速度；
（4）若在圆形区域右侧加上竖直向下的匀强电场，电场强度为E，粒子从圆弧顶点P以速率v₀对准圆心射入，求离子打在MN上的位置距离圆形区域圆心O的竖直高度h．

Answer 1

分析 （1）离子在金属极板间做匀加速运动，由动能定理求解电压U．
（2）离子进入磁场后做匀速圆周运动，若离子从圆形区域顶点P对准圆心射入，刚好从圆形区域最右侧射出时，其在磁场中运动轨迹为$\frac{1}{4}$圆弧，画出轨迹，求出轨迹半径，由牛顿第二定律求解磁感应强度．
（3）结合题意画出离子的运动轨迹，由几何知识求出轨迹半径，即可求得离子的速度．
（4）离子从Q点射出后做类平抛运动，运用运动的分解，由牛顿第二定律和位移公式结合解答．

解答 解：（1）由动能定理可知，2eU=$\frac{1}{2}$mv₀²
解得 U=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{4e}$．
（2）设离子进入磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r，根据题述，离子在磁场中的运动轨迹为四分之一圆周，且r=R，如图甲所示，由牛顿第二定律得：
  2ev₀B=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$
解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{2eR}$                                           

（3）根据题述可知离子以与竖直感光板成60°的角打在竖直感光板上，离子轨迹如图乙所示．由图中几何关系可知，tan60°=$\frac{r}{R}$        

解得离子轨迹半径r=$\sqrt{3}$R                   
由2evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=$\frac{2\sqrt{3}eBR}{m}$．              
（4）离子从Q点射出后做类平抛运动，如图丙所示，且
d=v₀t，h=$\frac{1}{2}$at²（2分）
由牛顿第二定律有 a=$\frac{2eE}{m}$                                               
联立解得：h=$\frac{eE{d}^{2}}{m{v}_{0}^{2}}$．                                    

答：
（1）在两块平行金属极板上所加的电压U为$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{4e}$．　
（2）圆形区域内磁场的磁感应强度B为$\frac{m{v}_{0}}{2eR}$．
（3）它打到感光板上时的速度为$\frac{2\sqrt{3}eBR}{m}$．　
（4）离子打在MN上的位置距离圆形区域圆心O的竖直高度h为$\frac{eE{d}^{2}}{m{v}_{0}^{2}}$．

点评 本题考查带电粒子在磁场中的运动，掌握带电粒子在磁场中运动的半径公式．本题对数学几何能力要求较高，需加强这方面的训练．