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13.如图所示,质量为M表面光滑的斜面体放在粗糙的水平面上,其倾角为θ,斜面顶端与劲度系数为k自然长度为L的轻质弹簧相连,弹簧的下端连接着质量为m的物块.压缩弹簧使其长度为$\frac{3}{4}$L 时将物块由静止开始释放,且物块在以后的运动中斜面体始终处于静止状态,(重力加速度为g)则下列说法正确的是(  )
A.物块下滑的过程中弹簧的弹性势能一直增大
B.物块下滑到速度最大时其重力势能减少$\frac{{m}^{2}{g}^{2}si{n}^{2}θ}{k}$+$\frac{mgLsinθ}{4}$
C.物块下滑过程中,地面对斜面体的摩擦力最大值为mgsinθcosθ+$\frac{kLsinθ}{4}$
D.斜面体与地面的摩擦因数μ≥$\frac{4mgsinθcosθ+kLcosθ}{4Mg+4mgco{s}^{2}θ-kLsinθ}$

分析 物块在斜面上做简谐运动,物块下滑过程中,弹簧先恢复原长再伸长,弹性势能先减小再增大;当物块在运动的最高点和最低点时,其加速度最大,其摩擦力最大.对整体由牛顿第二定律可得地面对斜面体的摩擦力最大值;当物块处于任意位移x处时,能保持静止即可,对斜面体受力分析后根据平衡条件列式求解,然后将最大位移代入即可.

解答 解:A、物块下滑时,弹簧先恢复原长再伸长,弹性势能先减小再增大,故A错误;
B、当物块速度最大时有:mgsinθ=kx,所以重力势能减少为:△EP=mg($\frac{L}{4}$+$\frac{mgsinθ}{k}$)sinθ,故B正确;
C、当物块在运动的最高点和最低点时,其加速度最大,其摩擦力最大.对整体由牛顿第二定律可得地面对斜面体的摩擦力最大值为:f=max=m(gsinθ+$\frac{kL}{4m}$)cosθ=mgsinθcosθ+$\frac{kLcosθ}{4}$,故C正确;
D、当物块在最高点时,其与地面的压力最小,动摩擦因数最大.有:f=mgsinθcosθ+$\frac{kLcosθ}{4}$≤μN,(M+m)g-FN=may=m(gsinθ+$\frac{kL}{4m}$)sinθ
所以有μ≥$\frac{4mgsinθcosθ+kLcosθ}{4Mg+4mgco{s}^{2}θ-kLsinθ}$.故D正确.
故选:BCD.

点评 本题关键是先对滑块受力分析,然后根据牛顿第二定律列式分析;最后对斜面体受力分析,确定动摩擦因数的范围.

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