Question

如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有一长为l的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，已知O点到斜面底边的距离S_oc=L，
求：（1）小球通过最低点B时，细线对小球拉力为多少？
（2）若小球运动到A点或B点时剪断细线，小球滑落到斜面底边时到C点的距离相等，则l和L应满足的什么关系？

Answer 1

分析：（1）小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，小球在最高点时细线的拉力为零，由重力沿斜面向下的分力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球通过最高点时的速度，由机械能守恒定律求出小球通过最低点B时的速度，根据牛顿第二定律求解细线对小球拉力．
（2）若小球运动到A点或B点时剪断细线，小球做类平抛运动，沿斜面向下做加速度为gsinθ的匀加速直线运动，根据位移公式求解l和L应满足的关系．

解答：解：（1）在A点：根据牛顿第二定律得
    mgsinθ=m

v 2 A

l

得：vA=

glsinθ

小球从最高点到最低点的过程中，机械能守恒，则有：
  mgsinθ2l=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 A

解得，vB=

5glsinθ

在最低点：FT-mgsinθ=m

v 2 B

l

联立三式得F_T=6mgsinθ
（2）小球运动到A点或B点时剪断细线，小球做类平抛运动，沿斜面向下做加速度为gsinθ的匀加速直线运动，
   则有  L+l=

1

2

(gsinθ)

t

2 A

         L-l=

1

2

(gsinθ)

t

2 B

据题意得：在平行于斜面底端方向，小球做匀速直线运动，则有
   v_At_A=v_Bt_B
解得：L=1.5l
答：
（1）小球通过最低点B时，细线对小球拉力为6mgsinθ．
（2）l和L应满足的关系是L=1.5l．

点评：本题小球在斜面平面内圆周运动与在竖直平面内圆周运动相似，小球经过恰好最高点时细线的拉力为零．