Question

18．如图所示，一个边长为a的单匝正方形线圈以00′为轴匀速转动，转速为每秒n转，00′的左侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场以00′连线为边界，磁感应强度为B，从00′接出外电路，负载电阻为R，线圈电阻为r，电流表和连接导线的电阻不计，求：
（1）从图示位置起，线圈转过$\frac{1}{4}$周时间内负载电阻R上产生的热量Q是多少？
（2）从图示位置起转过$\frac{1}{4}$周时间内通过电阻R的电荷量q是多少？
（3）电流表的示数I是多少？

Answer 1

分析 （1）根据感应电动势的最大值公式E_m=NBSω，结合ω=2πn，即可求解最大值；再由交流电的最大值表达式可求得有效值，再由电功公式可求得热量；
（2）由法拉第电磁感应定律可求得平均值，由q=It可求得电荷量；
（3）电流表的示数为有效值，由有效值定义求出有效值，再由电流．

解答 解：（1）由最大值表达式可知；E_m=NBSω=B×a²×2πn=2Bπa²n；
在线圈从图示位置转过$\frac{1}{4}$转的时间内，电动势的有效值为E=$\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$Bπa²n；
Q=（$\frac{E}{R+r}$）²R•$\frac{T}{4}$=$\frac{{B}^{2}{π}^{2}{a}^{4}n}{2（R+r）}$；
（2）在线圈从图示位置转过$\frac{1}{4}$ 的时间内，电动势的平均值$\overline{E}$=$\frac{△∅}{△t}$；
平均电流$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+r}$
通过R的电荷量q=$\overline{I}$△t=$\frac{B{a}^{2}}{R}$；
（3）根据以上分析得出对应的交流电图象如图所示；
设此交变电动势在一周期内的有效值为E′，由有效值的定义得：
$\frac{（\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}）^{2}}{R}•\frac{T}{2}=\frac{E{′}^{2}}{R}•T$
E′=$\frac{{E}_{m}^{\;}}{2}$；
解得：电流表的示数为：
I=$\frac{E′}{R}$=$\frac{π{a}^{2}nB}{（r+R）}$；
答：（1）负载电阻R上产生的热量为$\frac{{B}^{2}{π}^{2}{a}^{4}n}{2（R+r）}$；
（2）通过负载电阻R的电荷量为$\frac{B{a}^{2}}{R}$；
（3）电流表的示数为$\frac{π{a}^{2}nB}{（r+R）}$．

点评 本题考查交流电的有效值及交流电的产生，要注意明确电流表示数及求总功及功率时都要用有效值．