Question

12．已知质量均匀的球壳对其内部物体的引力为零．假设地球质量均匀，科学家设想在赤道正上方高d处和正下方深为d处各修建一环形轨道，轨道面与赤道面共面．现有A、B两物体分别在上述两轨道中做匀速圆周运动，若地球半径为R，轨道对它们均无作用力，不计空气阻力，则A、B两物体运动的线速度大小之比为（　　）

• A． $\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}=\frac{R}{R-d}\sqrt{\frac{R}{R+d}}$
• B． $\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}=\frac{R}{R+d}\sqrt{\frac{R}{R-d}}$
• C． $\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}=\frac{R+d}{R-d}$
• D． $\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}=\sqrt{\frac{R-d}{R+d}}$

Answer 1

分析 由地球质量等于密度乘以体积，可得地球质量表达式；由万有引力提供向心力，对A、B分别列方程可得两物体速度之比．

解答 解：设地球密度为ρ，则在赤道上方的卫星：$G\frac{（ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}）m}{（R+d）^{2}}=m\frac{{v}_{A}^{2}}{R+d}$；
则在赤道上方的卫星：$G\frac{[ρ•\frac{4}{3}π{（R-d）}^{3}]m}{{（R-d）}^{2}}=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R-d}$；
联立解得：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}=\frac{R}{R-d}\sqrt{\frac{R}{R+d}}$
故选：A

点评 本题主要掌握万有引力提供向心力的基本应用，同时要根据题意“质量均匀的球壳对其内部物体的引力为零”分析，注意将质量化简为含密度的表达式．