Question

9．如图（a）所示，一个电阻值为R，匝数为n的圆形金属线与阻值为2R的电阻R₁连结成闭合回路．线圈的半径为r₁．在线圈中半径为r₂的圆形区域存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图（b）所示．图线与横、纵轴的截距分别为t₀和B₀．导线的电阻不计．求：
①0至t₁时间内通过电阻R₁的电流大小和方向
②0至t₁时间内通过电阻R₁ 的电量q
③0至t₁时间内电阻R₁上产生的热量Q．

Answer 1

分析 ①线圈平面垂直处于匀强磁场中，当磁感应强度随着时间均匀变化时，线圈中的磁通量发生变化，从而导致出现感应电动势，产生感应电流．
②由楞次定律可确定感应电流方向，由法拉第电磁感应定律可求出感应电动势大小．
③产生的热量则是由焦耳定律求出．

解答 解：①由法拉第电磁感应定律：E=n$\frac{△B}{△t}$S=n$\frac{{B}_{0}}{{t}_{0}}$πr₂²…（1）
由欧姆定律：I=$\frac{E}{3R}$…（2）
联立（1）（2）得：I=$\frac{n{B}_{0}π{{r}_{2}}^{2}}{3R{t}_{0}}$…（3）
由楞次定律可知电流方向：从b到a
②在0至t₁时间内电阻R₁上产生的电量为：q=It₁=n$\frac{△B•π{{r}_{2}}^{2}}{3R}$…（4）
③在0至t₁时间内电阻R₁上产生的电热为：Q=I²2Rt₁=$\frac{{n}^{2}{{B}_{0}}^{2}{π}^{2}{{r}_{2}}^{4}}{9{R}^{2}{{t}_{0}}^{2}}$×2Rt₁=$\frac{2{n}^{2}{B}_{0}{\;}^{2}{π}^{2}{r}_{2}{\;}^{4}{t}_{1}}{9R{t}_{0}{\;}^{2}}$
答：①通过电阻R₁上的电流大小为$\frac{n{B}_{0}π{{r}_{2}}^{2}}{3R{t}_{0}}$，方向为从b到a；
②通过电阻R₁上的电量q为n$\frac{△B•π{{r}_{2}}^{2}}{3R}$，
③电阻R₁上产生的热量为$\frac{2{n}^{2}{B}_{0}{\;}^{2}{π}^{2}{r}_{2}{\;}^{4}{t}_{1}}{9R{t}_{0}{\;}^{2}}$．

点评 考查楞次定律来判定感应电流方向，由法拉第电磁感应定律来求出感应电动势大小．还可求出电路的电流大小，及电阻消耗的功率．同时磁通量变化的线圈相当于电源．