Question

如图所示，劲度系数为k的轻弹簧，右端连在竖直墙面上，左端连着不带电的绝缘小球B，开始时B球静止在光滑绝缘水平面上．整个装置处在场强大小为E、方向水平向右的匀强电场中．现把一质量为m、带电荷量为+q的小球A，从距B球s处自由释放，A将与B发生正碰．碰撞中无机械能损失，且A球的电荷量始终不变．已知B球的质量M=2m，B球被碰后作简谐运动，其运动周期T=2π

M k

（A、B小球均可视为质点）．求：
（1）A球与B球第一次相碰前A的速度大小；
（2）两球第一次碰后瞬间，A球的速度v₁和B球的速度v₂；
（3）要使A球与B球第二次仍在B球的初始位置相碰，弹簧劲度系数k的可能取值．

Answer 1

分析：（1）根据动能定理求解A球与B球第一次相碰前A的速度大小；
（2）A与B碰撞中无机械能损失，根据动量守恒和动能守恒求出碰后瞬间A球的速度v₁和B球的速度v₂；
（3）两球碰撞后，B球作简谐运动，A球先向左做减速运动又向右作加速运动，要使A球与B球第二次仍在B球的初始位置相碰，分析得出两球运动时间与B的周期关系，运用动量定理研究A的运动过程，求解弹簧劲度系数k的可能取值．

解答：解：（1）设A球与B球第一次碰撞前瞬间的速度为v₀，由动能定理得：
   qE?s=

1

2

mv2
解得：v0=

2qEs m

（2）由于碰撞过程极短，系统的动量守恒：
   mv₀=mv₁+Mv₂
碰撞过程中无机械能损失，则有：

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

M

v

2 2

联立解得：v1=-

1

3

2qEs m

，负号表示方向向左，v2=

2

3

2qEs m

，方向向右．
（3）因|v₁|＜v₂，要使m与M第二次碰撞仍发生在原位置，则只能是迎面相碰，所用的时间t满足：t=(n+

1

2

)T（n=0，1，2，3…）
A球在电场中受电场力作用向左做减速运动至速度为0后又向右作加速运动：qEt=m（-v₁）-mv₁
由题知：T=2π

M k

解得：k=

9π2qE(2n+1)2

4s

（n=0，1，2，3…）
答：
（1）A球与B球第一次相碰前A的速度大小为

2qEs m

；
（2）两球第一次碰后瞬间，A球的速度v₁和B球的速度v₂分别为v1=-

1

3

2qEs m

，负号表示方向向左，v2=

2

3

2qEs m

，方向向右．
（3）要使A球与B球第二次仍在B球的初始位置相碰，弹簧劲度系数k的可能取值为：k=

9π2qE(2n+1)2

4s

（n=0，1，2，3…）．

点评：本题是多过程问题，采用程序法按时间顺序研究．无机械能损失的碰撞称为弹性碰撞，遵守动量和机械能两大守恒．对于B的简谐运动是抓住周期性，不能漏解．