Question

如图，V形细杆AOB能绕其对称轴OO’转动，OO’沿竖直方向，V形杆的两臂与转轴间的夹角均为α=45°．两质量均为m=0.1kg的小环，分别套在V形杆的两臂上，并用长为L=1.2m、能承受最大拉力F_max=4.5N的轻质细线连接．环与臂间的最大静摩擦力等于两者间弹力的0.2倍．当杆以角速度ω转动时，细线始终处于水平状态，取g=10m/s²．
（1）求杆转动角速度ω的最小值；
（2）将杆的角速度从（1）问中求得的最小值开始缓慢增大，直到细线断裂，写出此过程中细线拉力随角速度变化的函数关系式．

Answer 1

（1）角速度最小时，f_max沿杆向上，此时绳处于松弛状态则
竖直方向由平衡条件得F_Nsin45°+f_maxcos45°=mg，
水平方向由牛顿第二定律得F_Ncos45°-f_maxsin45°=mω₁²r，
且f_max=0.2F_N，r=

l

2

，
解得ω₁=

10

3

≈3.33rad/s
（2）当f_max沿杆向下时，绳仍处于松弛状态，有
竖直方向由平衡条件得F_Nsin45°=f_maxcos45°+mg，
水平方向由牛顿第二定律得F_Ncos45°+f_maxsin45°=mω₂²r，
解得ω₂=5rad/s
此后，拉力随ω的增大而变大，当细线拉力刚达到最大时，有
F_Nsin45°-f_maxcos45°=mg
F_max+F_Ncos45°-f_maxsin45°=mω₃²r，
解得ω₃=10rad/s
因此在ω₂～ω₃间，F拉=mω2r-FNcos45°+fmaxsin45°
所以拉力随角速度的函数关系式为：F_拉=0（

10

3

rad/s≤ω≤5rad/s）；F拉=0.06ω2-1.5（5rad/s＜ω＜10rad/s）
答：（1）杆转动角速度ω的最小值为3.33rad/s；
（2）将杆的角速度从（1）问中求得的最小值开始缓慢增大，直到细线断裂，此过程中细线拉力随角速度变化的函数关系式为
F_拉=0（

10

3

rad/s≤ω≤5rad/s）；F拉=0.06ω2-1.5（5rad/s＜ω＜10rad/s）．