Question

4．如图1所示，厚度均匀、上表面为长方形ABB′A′的平板静止在光滑水平面上，平板上OO′所在直线与AB平行，CC′所在直线与OO′垂直．平板上表面的A A′至CC′段是粗糙的，CC′至BB′段是光滑的．将一轻质弹簧沿OO′方向放置在平板上，其右端固定在平板BB′端的轻质挡板上，弹簧处于原长时其左端位于CC′线上．在t=0时刻，有一可视为质点的小物块以初速度v₀从平板的AA′端沿OO′方向滑上平板，小物块在平板上滑行一段时间后，从t₁时刻开始压缩弹簧，又经过一段时间，在t₂时刻小物块与平板具有共同速度v₁．已知平板质量M=4.0kg，AA′与BB'之间的距离L₁=1.30m，弹簧的原长L₂=0.35m，小物块的质量m=1.0kg，速度v₀=5m/s，速度v₁=1.0m/s，小物块与平板粗糙面之间的动摩擦因数μ=0.20，取重力加速度g=10m/s²，弹簧始终在弹性限度内，小物块始终在OO'所在直线上．求：

（1）小物块压缩弹簧前在平板上滑行的时间；
（2）小物块压缩弹簧过程中，弹簧所具有的最大弹性势能；
（3）请在图2中定性画出0～t₂时间内小物块的速度v随时间t变化的图象．（图中t₁为小物块开始压缩弹簧的时刻；t₂为小物块与平板具有共同速度的时刻）

Answer 1

分析 （1）小物块滑上平板后，在滑动摩擦力作用下，小物块做匀减速运动，平板做匀加速运动，物块刚压缩弹簧时，两者位移之差等于L₁-L₂，根据牛顿第二定律、位移时间公式和位移关系列式求解．
（2）根据速度公式分别求出物块刚接触弹簧时的速度．当两者的速度相等时，弹簧的弹性势能达到最大，再由能量守恒定律求弹簧所具有的最大弹性势能．
（3）分段画出v-t图象．

解答 解：（1）在0-t₁时间内，小物块做匀减速直线运动，平板做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律得：
小物块的加速度 a₁=$\frac{μmg}{m}$=μg=2m/s²；（向左）
平板的加速度 a₂=$\frac{μmg}{M}$=0.5m/s²；（向右）
小物块的位移 x₁=v₀t-$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$
平板的位移 x₂=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$
又 x₁-x₂=L₁-L₂；
联立解得 t=0.2s
（2）小物块刚接触弹簧时：
小物块的速度 v_块=v₀-a₁t
平板的速度 v_板=a₂t
解得 v_块=4.6m/s，v_板=0.1m/s
设弹簧所具有的最大弹性势能为 E_p，小物块压缩弹簧过程中，根据机械能守恒定律得
E_p=$\frac{1}{2}m{v}_{块}^{2}$+$\frac{1}{2}M{v}_{板}^{2}$-$\frac{1}{2}（m+M）{v}_{1}^{2}$
解得 E_p=8.1J
（3）在0-t₂时间内，小物块的速度v随时间t变化的图象2所示．
答：
（1）小物块压缩弹簧前在平板上滑行的时间是0.2s．
（2）小物块压缩弹簧过程中，弹簧所具有的最大弹性势能是8.1J．
（3）在0-t₂时间内，小物块的速度v随时间t变化的图象2所示．

点评 本题首先要理清物理过程，抓住物块与平板位移关系，运用牛顿运动定律和运动学公式结合分析求解，也可以根据动能定理和能量守恒定律结合解答．