Question

（25分）如图所示，两个金属轮 A₁、A₂，可绕通过各自中心并与轮面垂直的固定的光滑金属细轴 O₁ 和 O₂ 转动，O₁ 和 O₂ 相互平行，水平放置。每个金属轮由四根金属辐条和金属环组成，A₁ 轮的辐条长为 a₁、电阻为 R₁，A₂ 轮的辐条长为 a₂、电阻为 R₂，连接辐条的金属环的宽度与电阻都可以忽略。半径为 a₀ 的绝缘圆盘 D 与 A₁ 同轴且固连在一起。一轻细绳的一端固定在 D 边缘上的某点，绳在 D 上绕足够匝数后，悬挂一质量为 m 的重物 P 。当 P 下落时，通过细绳带动 D 和 A₁ 绕 O₁ 轴转动。转动过程中，A₁、A₂ 保持接触，无相对滑动；两轮与各自细轴之间保持良好的电接触；两细轴通过导线与一阻值为 R 的电阻相连。除 R 和 A₁、A₂ 两轮中辐条的电阻外，所有金属的电阻都不计。整个装置处在磁感应强度为 B 的匀强磁场中，磁场方向与转轴平行。现将 P 释放，试求 P 匀速下落时的速度。

Answer 1

参考解答：

P 被释放后，细绳的张力对 D 产生机械力矩，带动 D 和A₁ 作逆时针的加速转动，通过两个轮子之间无相对运动的接触，A₁ 带动 A₂ 作顺时针的加速转动。由于两个轮子的辐条切割磁场线，所以在 A₁ 产生由周边沿辐条指向轴的电动势，在 A₂ 产生由轴沿辐条指向周边的电动势，经电阻 R 构成闭合电路。A₁ 、A₂ 中各辐条上流有沿电动势方向的电流，在磁场中辐条受到安培力。不难看出，安培力产生的电磁力矩是阻力矩，使 A₁ 、A₂ 加速转动的势头减缓。A₁ 、A₂ 从起始的静止状态逐渐加速转动，电流随之逐渐增大，电磁阻力矩亦逐渐增大，直至电磁阻力矩与机械力矩相等，D、A₁ 和 A₂ 停止作加速转动，均作匀角速转动，此时 P 匀速下落，设其速度为 v，则 A₁ 的角速度

（1）

A₁ 带动 A₂ 转动，A₂ 的角速度 与 A₁ 的角速度 之间的关系为

　（2）

A₁ 中每根辐条产生的感应电动势均为

（3）

轴与轮边之间的电动势就是 A₁ 中四条辐条电动势的并联，其数值见（3）式。

同理，A₂ 中，轴与轮边之间的电动势就是 A₂ 中四条辐条电动势的并联，其数值为

　 （4）

A₁ 中，每根辐条的电阻为 R₁，轴与轮边之间的电阻是 A₁ 中四条辐条电阻的并联，其数值为

（5）

A₂ 中，每根辐条的电阻为 R₂，轴与轮边之间的电阻是 A₂ 中四条辐条电阻的并联，其数值为

（6）

A₁ 轮、A₂ 轮和电阻 R 构成串联回路，其中的电流为

　（7）

以（1）至（6）式代入（7）式，得

（8）

当 P 匀速下降时，对整个系统来说，重力的功率等于所有电阻的焦耳热功率之和，即

（9）

以（8）式代入（9）式得

（10）