Question

【题目】如图甲，PNQ为竖直放置的半径为0．1 m的半圆形轨道，在轨道的最低点P和最高点Q各安装了一个压力传感器，可测定小球在轨道内侧通过这两点时对轨道的压力FP和FQ．轨道的下端与一光滑水平轨道相切，水平轨道上有一质量为0．06 kg的小球A，以不同的初速度v0与静止在轨道最低点P处稍右侧的另一质量为0．04 kg的小球B发生碰撞，碰后形成一整体（记为小球C）以共同速度v冲入PNQ轨道．（A、B、C三小球均可视为质点，g取10 m/s2）

（1）若FP和FQ的关系图线如图乙所示，求：当FP＝13 N时所对应的入射小球A的初速度v0为多大？

（2）当FP＝13 N时，AB所组成的系统从A球开始向左运动到整体达到轨道最高点Q全过程中所损失的总机械能为多少？

（3）若轨道PNQ光滑，小球C均能通过Q点．试推导FP随FQ变化的关系式，并在图丙中画出其图线．

Answer 1

【答案】（1） m/s；（2）0．6 J ；（3）FQ＝FP－6（N），图像见解析。

【解析】

试题分析：（1）设A球的质量为M，B球的质量为m，由牛顿第三定律可知，小球在P、Q两点所受轨道的弹力大小NP＝FP；NQ＝FQ ①

在P点由牛顿第二定律得： NP－（M＋m）g＝（M＋m） ②

解得vP＝2 m/s

AB相碰，Mv0＝（M＋m）vP ③

解得v0＝ m/s

（2）AB相碰所损失的机械能ΔE1＝Mv－（M＋m）v＝0．4 J ④

球C在Q点由牛顿第二定律得：NQ＋（M＋m）g＝（M＋m） ⑤

球C从P运动至Q的过程，由动能定理得：

Wf－（M＋m）g2R＝（M＋m）v－（M＋m）v ⑥

联立并代入数据解得Wf＝－0．2 J

故球C上升过程中所损失的机械能ΔE2＝0．2 J

故整个系统在全过程中所损失的机械能ΔE＝ΔE1＋ΔE2＝0．6 J ⑦

（3）因轨道光滑，小球C由P至Q的过程中机械能守恒

（M＋m）v＝（M＋m）v＋（M＋m）g·2R ⑧

联立①②⑤⑧得NP－NQ＝6（M＋m）g

即FQ＝FP－6（N）