Question

2．如图所示，粗糙的水平轨道AB与光滑半圆弧轨道平滑连接于B点，整个轨道装置置于竖直平面内．质量为m的小球（可视为质点）以3 $\sqrt{gR}$的初速度由A点向B点运动，进入半圆形轨道后恰好能通过轨道最高点C点，最终落到水平轨道上的D点．已知半圆形轨道半径为R．求：
（1）B、D两点间的距离．
（2）小球在粗糙的水平轨道上运动过程中克服轨道摩擦力所做的功．

Answer 1

分析 （1）小球恰好能通过轨道最高点C点，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求出小球通过C点时的速度．小球离开C点后做平抛运动，将其运动进行分解，根据平抛运动的规律求解B、D两点间的距离；
（2）对小球从A到D的过程，运用动能定理求克服服轨道摩擦力所做的功．

解答 解：（1）设小球通过C点时的速度为v_C，由题有：mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
得 v_C=$\sqrt{gR}$．
从C点运动到D点时间为t，小球从C点飞出后做平抛运动，则
竖直方向：2R=$\frac{1}{2}$gt²
水平方向：x=v_Ct
解得：x=2R
（2）从A到D，由动能定理得：
-mg•2R-W_f=$\frac{1}{2}$$m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
将v_A=3$\sqrt{gR}$，v_C=$\sqrt{gR}$代入解得：W_f=2mgR
答：（1）B、E两点间的距离是2R；
（2）小球在粗糙的水平轨道上运动过程中克服轨道摩擦力所做的功是2mgR．

点评 本题是平抛运动和动能定理的综合应用，关键要把握每个过程的物理规律，知道动能定理是求变力做功常用的方法．