Question

18．磁悬浮列车是一种高速运载工具，它具有两个重要系统．一是悬浮系统，利用磁力（可由超导电磁铁提供）使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接触从而减小阻力．另一是驱动系统，即利用磁场与固定在车体下部的感应金属框相互作用，使车体获得牵引力，如图是实验列车驱动系统的原理示意图．在水平面上有两根很长的平行轨道PQ和MN，轨道间有垂直轨道平面的匀强磁场B₁和B₂，且B₁和B₂的方向相反，大小相等，即B₁=B₂=B．在列车的底部固定着绕有N匝相同的闭合矩形金属线圈，并且与之绝缘，整个线圈的总电阻为R，每个矩形金属线圈abcd垂直轨道的边长L_ab=L，且两磁场的宽度均与金属线圈ad的边长相同（列车的车厢在图中未画出）．当两磁场B_l和B₂同时沿导轨方向向右运动时，金属框也会受到向右的磁场力，带动列车沿导轨运动．已知列车车厢及线圈的总质量为M，假设列车所受阻力大小恒为f．则：
（1）假设用两磁场同时水平向右以速度V₀作匀速运动来起动列车，求列车向右运行的最大速度V_m；
（2）请你分析在（1）的情况下提高列车最大运行速度的可行性措施（至少说出3条）以及使列车减速停车的可行性措施（至少说出2条）；
（3）假如列车达到最大速度V_m后向右做匀速直线运动，求经过时间t外界提供的总能量；
（4）假如用两磁场由静止沿水平向右做匀加速直线运动来起动列车，当两磁场运动的时间为t₁时，列车也正在以速度V₁向右做匀加速直线运动，求两磁场开始运动后到列车开始起动所需要的时间t₀．

Answer 1

分析 （1）由欧姆定律求出感应电流，由安培力公式求出安培力，当列车匀速运动时速度最大，应用平衡条件可以求出列车的最大速度．
（2）根据列车最大速度的表达式分析，找出提高最大速度的措施以及使列车减速停车的措施．
（3）列车水平向右以速度v做匀速运动时，相对于磁场向左运动，线框所受的安培力与阻力大小相等，根据受力平衡，求出电流I，再根据能量守恒定律E=I²R+fv求出单位时间内需提供的总能量．
（4）为实现列车最终沿水平方向做匀加速直线运动，其加速度必须与两磁场由静止开始做匀加速直线运动的加速度相同，t₁时刻金属线圈中的电动势：E=2NBL（at₁-v₁），根据所受的安培力，结合牛顿第二定律求出列车最终的加速度．从磁场运动到列车起动需要时间为t₀，t₀时刻金属线圈中的电动势E₀=2NBLat₀，当t₀时刻时安培力增大到与阻力相等，根据安培力等于阻力求出t₀．

解答 解：（1）感应电流：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{2NBL（{v}_{0}-{v}_{m}）}{R}$，
线框受到的安培力：F=2NBIL，
列车匀速运动时速度最大，由平衡条件得：
2NBIL-f=0，
解得：${V_m}={V_0}-\frac{fR}{{4{N^2}{B^2}{L^2}}}$；
（2）由${V_m}={V_0}-\frac{fR}{{4{N^2}{B^2}{L^2}}}$可知，提高列车最大运行速度的可行性措施：减少阻力、减少线圈电阻、增大驱动磁场、增大驱动磁场的运行速度等，使列车减速停车的可行性措施：切断电源使磁场停止运动、改变驱动磁场方向、使驱动磁场反向运动等；
（3）当列车以速度v_m匀速运动时，两磁场水平向右运动的速度为v′，金属框中感应电动势为：
E=2NBL（v′-v_m）
金属框中感应电流：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{2NBL（v′-{v}_{m}）}{R}$，
由平衡条件得：F=2NBIL=f，
解得：v′=v_m+$\frac{fR}{4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}$，
当列车匀速运动时，金属框中的热功率为：P₁=I²R，克服阻力的功率为：P₂=fv_m，
外界在单位时间内需提供的总能量为：E=I²Rt+fvt=tfv_m+$\frac{{f}^{2}R}{4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}$t；
（4）根据题意分析可得，为实现列车最终沿水平方向做匀加速直线运动，其加速度必须与两磁场由静止开始做匀加速直线运动的加速度相同，设加速度为a，则t₁时刻金属线圈中的电动势：
E=2NBL（at₁-v₁）
金属框中感应电流：I=$\frac{2NBL（a{t}_{1}-{v}_{1}）}{R}$，
又因为安培力：F=2NBIL=$\frac{4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}（a{t}_{1}-{v}_{1}）}{R}$，
对列车，由牛顿第二定律得：$\frac{4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}（a{t}_{1}-{v}_{1}）}{R}$-f=Ma，
解得：a=$\frac{fR+4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}{t}_{1}-MR}$，
设从磁场运动到列车起动需要时间为t₀，则t₀时刻金属线圈中的电动势：E₀=2NBLat₀，
金属框中感应电流：I₀=$\frac{2NBLa{t}_{0}}{R}$，
安培力：F₀=2NBIL=$\frac{4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}a{t}_{0}}{R}$，
对列车，由牛顿第二定律得：$\frac{4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}a{t}_{0}}{R}$=f，
解得：${t_0}=\frac{fR}{{4{N^2}{B^2}{L^2}{a_{\;}}}}=\frac{{fR（{4{N^2}{B^2}{L^2}{t_1}-MR}）}}{{4{N^2}{B^2}{L^2}（fR+4{N^2}{B^2}{L^2}{v_1}）}}$；
答：（1）列车向右运行的最大速度V_m为：V₀-$\frac{fR}{4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）提高列车最大运行速度的可行性措施：减少阻力、减少线圈电阻、增大驱动磁场、增大驱动磁场的运行速度等，
使列车减速停车的可行性措施：切断电源使磁场停止运动、改变驱动磁场方向、使驱动磁场反向运动等．
（3）经过时间t外界提供的总能量tfv_m+$\frac{{f}^{2}R}{4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}$t；
（4）两磁场开始运动后到列车开始起动所需要的时间t₀为$\frac{fR（4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}{t}_{1}-MR）}{4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}（fR+4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}）}$．

点评 解决本题的关键以磁场为参考系，线圈做切割磁感线运动，产生感应电流，从而受到安培力，在安培力和阻力的作用下运动．