Question

17．如图所示，矩形单匝导线框abcd竖直放置，其下方有一磁感应强度为B的有界匀强磁场区域，该区域的上边界PP′水平，并与线框的ab边平行，磁场方向与线框平面垂直．已知线框ab边长为L₁，ad边长为L₂，线框质量为m，总电阻为R．现无初速地释放线框，在下落过程中线框所在平面始终与磁场垂直，且ab边始终与PP′平行．若线框恰好匀速进入磁场，不计空气阻力，重力加速度大小为g，求：
（1）dc边刚进入磁场时，线框速度的大小v；
（2）在线框从开始下落到ab边刚进入磁场的过程中，重力做的功W与线框产生的焦耳热Q的比值．

Answer 1

分析 （1）线框匀速进入磁场，重力与安培力平衡，根据平衡条件、安培力公式、切割公式、欧姆定律列式求解；
（2）由动能定理和功的计算公式，求出重力做的功W及热量Q．

解答 解：（1）线框dc边刚进入磁场时，感应电动势 E=BL₁v  ①
感应电流：I=$\frac{E}{R}$   ②
dc边受安培力的大小：F=BIL₁③
F=mg  ④
由①～④式解得速度$v=\frac{mgR}{{{B^2}L_1^2}}$⑤
（2）在线框从开始下落到dc边刚进入磁场的过程中，重力做功W₁，根据动能定理得：
W₁=$\frac{1}{2}$mv²   ⑥
线框进入磁场的过程中
W₂=mgL₂⑦
所以：W_G=W₁+W₂⑧
由能量守恒知线框进入磁场的过程中产生热量：
Q=W₂⑨
由⑤～⑨式解得功与焦耳热的比$\frac{W}{Q}=\frac{{{m^2}g{R^2}}}{{2{B^4}L_1^4{L_2}}}+1$     
答：（1）dc边刚进入磁场时，线框速度的大小v为$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}_{1}^{2}}$；
（2）在线框从开始下落到ab边刚进入磁场的过程中，重力做的功W与线框产生的焦耳热Q的比值为：$\frac{W}{Q}=\frac{{{m^2}g{R^2}}}{{2{B^4}L_1^4{L_2}}}+1$

点评 本题是电磁感应中的力学问题，考查电磁感应、动能定理、平衡条件等知识综合应用和分析能力．