Question

11．已知火星表面附近的重力加速度为g，火星半径为R，火星自转周期为T．万有引力常量为G．求：
（1）火星的质量；
（2）火星上卫星的第一宇宙速度；
（3）火星的同步卫星距行星表面的高度h．

Answer 1

分析 根据已知量，地球表面的物体受到的重力等于万有引力列出等式，
地球的同步卫星的万有引力提供向心力，可以求出地球同步卫星的高度．

解答 解：（1）根据火星表面物体万有引力等于重力，可得：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
解得：M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$
（2）设质量为m的卫星绕火星表面飞行速度为v，万有引力提供向心力，有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$=mg
得：v=$\sqrt{gR}$，
（3）其同步卫星的周期等于其自转周期T，则对其同步卫星有：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
r=R+h，结合M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$
解得：h=$\root{3}{\frac{{{gR}^{2}T}^{2}}{{4π}^{2}}}$-R
答：（1）火星的质量是$\frac{{gR}^{2}}{G}$；
（2）火星上卫星的第一宇宙速度是$\sqrt{gR}$；
（3）火星的同步卫星距行星表面的高度是$\root{3}{{\frac{{g{R^2}{T^2}}}{{4{π^2}}}}}$-R．

点评 解答此题要清楚地球表面的物体受到的重力等于万有引力，地球的同步卫星的万有引力提供向心力．