Question

（2012?资阳三模）如图所示，直角坐标系的Y轴左方为垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B．垂直x轴竖直放置一个足够大接收屏PO，它离原点距离为Og=L/2；直角坐标系的第一象限和第四象限的abc0，Ocdf均是边长为L的正方形，其内以a、f为圆心各有一垂直纸面方向的半径为乙的1/4圆形匀强磁场区域，磁感应强度的大小均为B．bd为一线状发射装置，射出一束质量为m、电荷量为s的电子，以相同的初速度沿纸面垂直于bd边射入两个正方形区域，电子从bd边上的任意点入射，都只能从原点O射出，进入Y轴左方磁场．不考虑电子之间的相互作用，不计重力．求：
（I）第一象限和第四象限中匀强磁场区域的磁感应强度的方向和电子初速度v₀的大小；
（2）电子打到接收屏PQ上的范围；
（3）打在接收屏上的电子在磁场中运动的最长时间t．

Answer 1

分析：（1）由题意，电子在第一、四象限内都能通过原点O，则知电子的偏转方向，根据左手定则判断出磁场的方向．电子从b点射入的电子从O点射出时，画出轨迹，由几何知识得到轨迹半径，根据洛伦兹力提供向心力，即可由牛顿第二定律求出初速度v₀的大小．
（2）从O点沿-y方向进入磁场的电子打在屏上最低点，画出轨迹，由几何知识求出打在屏上最低点到到g的距离．当从O点沿某方向进入第二象限的电子其圆轨迹在恰与圆相切，该电子打在屏上最高位置，再画出轨迹，即可由几何关系求出打在屏上最高点到到g的距离，可得到电子打到接收屏PQ上的范围．
（3）根据轨迹对应的圆心角越大，在磁场中运动时间越长可知，在所有达到屏上的电子中，从b点射入的电子在磁场中运动时间最长，分别求出该电子在第一象限和第四象限的运动题意，即可求得最长的时间．

解答：解：（1）根据电子在第一、四象限内的偏转分析和左手定则可知：
第一象限的磁场方向为垂直纸面向外…①
第四象限的磁场方向为垂直纸面向内…②
电子从b点射入的电子从O点射出，轨迹如图所示，则：
由几何关系得其圆周运动的半径：
R=L…③
由牛顿运动定律有：ev0B=m

v 2 0

R

…④
联解③④得：v0=

eBL

m

…⑤
（2）设从O点沿-y方向进入磁场的电子打在屏上最低点h，圆心为O₁，由图中几何关系可知：
 

.

O1g

=R-

L

2

…⑥
 

.

gh

=

R2-( . O1g )2

…⑦
设从O点沿某方向进入第二象限的电子其圆轨迹在i点恰与圆相切，该i点为电子打在屏上最高位置，如图所示，圆心为O₂，连接O₂、i交y轴为j点．由图中几何关系可知：

.

O2j

=R-

L

2

…⑧
    

.

gi

=

R2-( . O2j )2

…⑨
联解⑥⑦⑧⑨得：

.

gh

=

3

2

L…⑩
               

.

gi

=

3

2

L…（11）
接收屏被电子打中范围：（-

3

2

L，

3

2

L）…（12）
（3）在所有达到屏上的电子中，从b点射入的电子在磁场中运动时间最长，它在磁场中做圆周运动有：
   ev0B=m(

2π

T

)2R…（13）
它在第一象限内的运动时间：t1=

1

4

T…（14）
它在y轴左侧区域运动时间为：t2=

1

6

T…（15）
电子在磁场中运动时间最长时间为：t=t1+t2=

5πm

6eB

…（16）
答：
（1）第一象限和第四象限中匀强磁场区域的磁感应强度的方向分别为垂直纸面向外和垂直纸面向内，电子初速度v₀的大小为

eBL

m

；
（2）电子打到接收屏PQ上的范围为（-

3

2

L，

3

2

L）；
（3）打在接收屏上的电子在磁场中运动的最长时间t是

5πm

6eB

．

点评：对于带电粒子在磁场中运动问题，确定圆心、定出半径，画出轨迹是基本方法，根据几何知识求得圆心角，可求得时间．