Question

3．天文学中把两颗距离比较近，又与其它星体距离比较远的星体叫做双星，双星的间距是一定的．设双星的质量分别是m₁、m₂，星球球心间距为L．问：
（1）两星的轨道半径各多大？
（2）两星的速度各多大？

Answer 1

分析 双星靠相互间的万有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出轨道半径之比，进一步计算轨道半径大小；据万有引力提供向心力计算出角速度；最后根据v=ωr求解线速度．

解答 解：（ 1 ）由于双星做匀速圆周运动，且角速度相同，
对 m₁ 由：$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}{ω}_{\;}^{2}{r}_{1}^{\;}$…①
对 m₂ 由：$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={m}_{2}^{\;}{ω}_{\;}^{2}{r}_{2}^{\;}$…②
由 ①②得：$\frac{{r}_{1}^{\;}}{{r}_{2}^{\;}}=\frac{{m}_{2}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}}$
又 r₁+r₂=L
解得：${r}_{1}^{\;}=\frac{{m}_{2}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}}L$       ${r}_{2}^{\;}=\frac{{m}_{1}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}}L$…③
（ 2 ）联立①③得：$ω=\sqrt{\frac{G{m}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}{r}_{1}^{\;}}}$
${v}_{1}^{\;}={r}_{1}^{\;}ω=\sqrt{\frac{G{m}_{2}^{\;}{r}_{1}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}}$=${m}_{2}^{\;}\sqrt{\frac{G}{L（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）}}$…④
联立②③得$ω=\sqrt{\frac{G{m}_{1}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}{r}_{2}^{\;}}}$
  ${v}_{2}^{\;}={r}_{2}^{\;}ω=\sqrt{\frac{G{m}_{1}^{\;}{r}_{2}^{\;}}{{L}_{2}^{\;}}}$=${m}_{1}^{\;}\sqrt{\frac{G}{L（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）}}$…⑤
答：（1）两星的轨道半径分别为$\frac{{m}_{2}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}}L$、$\frac{{m}_{1}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}}L$
（2）两星的速度分别为${m}_{2}^{\;}\sqrt{\frac{G}{L（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）}}$、${m}_{1}^{\;}\sqrt{\frac{G}{L（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）}}$

点评 解决本题的关键掌握双星模型系统，知道它们靠相互间的万有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等．