Question

15．河宽为d，水流速为v₁，小汽艇在静水中航行速度为v₂，且v₁＜v₂，如果小汽艇航向与河岸成θ角，斜向上游，求：
（1）它过河需要多少时间？
（2）到达对岸的位置．
（3）如果它要以最短时间渡河，航向应如何？
（4）如果它要直达正对岸，航向又怎样．

Answer 1

分析 汽艇渡河问题分析
（1）汽艇的实际运动是水流的运动和汽艇相对静水的运动的合运动．
（2）三种速度：v₂（汽艇在静水中的速度）、v₁（水流速度）、v（汽艇的实际速度）．
（3）两种常见情景
①过河时间最短：汽艇头正对河岸时，渡河时间最短，t_短=$\frac{d}{{v}_{1}}$ （d为河宽）．
②过河路径最短（v₂＞v₁时）：合速度垂直于河岸时，航程最短，s_短=d．汽艇头指向上游与河岸夹角为θ，其中cosθ=$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$．

解答 解：（1）汽艇的运动由两个运动组成，设渡河的时间为t，将v₁、v₂沿水流方向和垂直河岸方向分解，则水流方向：v_x=v₁-v₂•cosθ
垂直河岸方向：v_y=v₂•sinθ
渡河时间由v_y决定，与无关v_x无关，
t=$\frac{d}{{v}_{y}}$=$\frac{d}{{v}_{2}sinθ}$；
（2）汽艇沿着水流方向的位移为s=v₁t=$\frac{{v}_{1}d}{{v}_{2}sinθ}$；
那么到达对岸的位置偏向下游位移为$\frac{{v}_{1}d}{{v}_{2}sinθ}$；
（3）要使渡河时间最短，则当θ=90°，即汽艇头垂直河岸开行，t_min=$\frac{d}{{v}_{2}}$；
（4）要使位移最小，只有汽艇合运动垂直河岸，汽艇头应斜向上游成β角，
cosβ=$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$
解得：β=arccos$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$
答：（1）它过河需要$\frac{d}{{v}_{2}sinθ}$；
（2）到达对岸的位置偏向下游位移为$\frac{{v}_{1}d}{{v}_{2}sinθ}$；
（3）如果它要以最短时间渡河，航向垂直河岸；
（4）如果它要直达正对岸，航向偏向上游夹角为arccos$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$．

点评 求解小船渡河问题有两类：一是求最短渡河时间，二是求最短渡河位移．无论哪类都必须明确以下四点：
（1）解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头指向，是分运动．船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致．
（2）运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则按水流方向和船头指向分解．
（3）渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关．
（4）求最短渡河位移时，根据船速v_船与水流速度v_水的大小情况用三角形法则求极限的方法处理