Question

10．如图所示，在匀强磁场区域内与B垂直的平面中有两根足够长的固定金属平行导轨，在它们上面横放两根平行导体棒构成矩形回路．长度为L，质量为m，电阻为R，回路部分导轨电阻可忽略，棒与导轨无摩擦，不计重力和电磁辐射，且开始时图中左侧导体棒静止，右侧导体棒具有向右的初速v₀，试求两棒之间距离增长量x的上限．

Answer 1

分析 对于两棒组成的系统，合外力为零，遵守动量守恒，由动量守恒定律可求得两棒最终匀速运动的速度．再对左侧棒，运用牛顿第二定律和积分法求解x增长量的最大值．

解答 解：最终两棒以相同的速度匀速运动，此时两棒之间距离增长量x达到最大值，设两棒共同速度为v．
取向右为正方向，根据系统的动量守恒得
  mv₀=2mv，得 v=$\frac{{v}_{0}}{2}$
对于左侧棒，根据牛顿第二定律得：
  BIL=ma=m$\frac{△v}{△t}$
又 I=$\frac{BL△{v}_{差}}{2R}$，式中△v_差是两棒速度之差
联立并变形得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}△{v}_{差}△t}{2R}$=m△v
两边求和得：$\sum_{\;}^{\;}$$\frac{{B}^{2}{L}^{2}△{v}_{差}△t}{2R}$=∑m△v
其中△v_差△t=△x
则得 $\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{2R}$$\sum_{\;}^{\;}$△x=∑m△v=m$\frac{{v}_{0}}{2}$
所以两棒之间距离增长量x的上限为 $\sum_{\;}^{\;}$△x=$\frac{m{v}_{0}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$
答：两棒之间距离增长量x的上限为$\frac{m{v}_{0}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$．

点评 解决本题的关键要运用积分法求两棒之间距离增长量x的上限，要知道其切入点是牛顿第二定律和加速度的定义式．