Question

11．如图所示，一光滑的半圆弧形轨道BCD竖直固定，与一倾角为θ的粗糙斜面轨道在B点平滑相接，BD是圆弧竖直方向的直径，C点是与圆弧圆心O等高的点，圆弧半径为R．一质量为m的滑块（可以看作质点）置于粗糙斜面轨道的A点，滑块与斜面轨道间的动摩擦因数μ=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．滑块沿斜面向下的初速度v₀=$\sqrt{3Rg}$，滑块从圆弧形轨道D点射出后做平抛运动，恰好落到与圆弧轨道圆心O等高的E点．已知重力加速度为g，sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求：
（1）滑块离开D点时的瞬时速度大小．
（2）滑块经过C点时所受的合力大小．
（3）A点到B点的距离．

Answer 1

分析 （1）滑块从D到E做平抛运动，根据几何关系得出平抛运动的水平位移，结合平抛运动的规律，求出平抛运动的初速度，即滑块离开D点时的瞬时速度大小．
（2）滑块由C到D机械能守恒，由机械能守恒定律求滑块经过C点时的速度．再由牛顿第二定律求出滑块经过C点时所受的合力大小．
（2）对滑块从A到C的过程，运用动能定理列式，可求得A点到B点的距离．

解答 解：（1）设滑块由D平抛到E历时t，则有：
 R=$\frac{1}{2}$gt²，
 OE=v_Dt  
由几何关系得 OE=$\frac{R}{sinθ}$=$\sqrt{3}$R
可解得：v_D=$\sqrt{\frac{3}{2}gR}$
（2）滑块由C到D过程机械能守恒，则有：
  $\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
解得：v_C=$\sqrt{\frac{7}{2}gR}$
在C点，由牛顿第二定律得：
滑块经过C点时所受的合力大小 N=$\sqrt{（mg）^{2}+（m\frac{{v}_{C}^{2}}{R}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{53}}{2}$mg
（3）设A点到B点的距离为S．
对滑块从A到C的过程，由动能定理得：
  mgsinθ•S-μmgcosθ•S-mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
又 cosθ=$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，v₀=$\sqrt{3Rg}$，μ=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
由以上各式解得 S=$\frac{5}{2}\sqrt{3}$R
答：
（1）滑块离开D点时的瞬时速度大小是$\sqrt{\frac{3}{2}gR}$．
（2）滑块经过C点时所受的合力大小是$\frac{\sqrt{53}}{2}$mg．
（3）A点到B点的距离是$\frac{5}{2}\sqrt{3}$R．

点评 该题的突破口是小滑块从圆环最高点D水平飞出，恰好击中导轨上与圆心O等高的E点，运用平抛规律和几何关系求出初速度．运用动能定理解决问题时还要灵活选取研究的过程．