Question

7．如图所示，倾角θ=37°的光滑固定的斜面底端固定一轻弹簧，劲度系数k=$\frac{2mg}{5l}$，质量为2m的物块A与质量为m的物块B用不可伸长的轻质细绳通过固定在斜面顶部、大小可忽略的定滑轮连接，开始时，使物块A与B均静止，物块A与弹簧自由端的距离为l，现从静止释放两物块，不计一切摩擦和空气阻力，cos37°=0.8，sin37°=0.6，弹簧弹性势能的表达式E_P=$\frac{1}{2}$kx²（x为弹簧长度的改变量），重力加速度g取10m/s²．
（1）物块A的最大速度为多大？
（2）当物块A的速度达到最大值时，用特殊装置立即将物块A卡住，使其速度立即变为零，求整个过程中物块B上升的最大高度．

Answer 1

分析 （1）当A所受的合力为零时速度最大．由平衡条件求出速度最大时弹簧的压缩量，再对A、B及弹簧组成的系统运用机械能守恒定律列式，可求A的最大速度．
（2）用特殊装置立即将物块A卡住，B将做竖直上抛运动，由运动学公式求出B上升的最大高度．∴

解答 解：（1）当A所受的合力为零时速度最大．设A的速度最大时弹簧压缩量为x．
由平衡条件有：2mgsinθ=kx+mg
又 k=$\frac{2mg}{5l}$，联立解得 x=0.5l
A从释放到速度最大的过程，对A、B及弹簧组成的系统运用机械能守恒定律得：
  （2mgsinθ-mg）（l+x）=$\frac{1}{2}$kx²+$\frac{1}{2}•（2m+m）{v}_{m}^{2}$
解得A的最大速度为 v_m=$\sqrt{\frac{gl}{6}}$
（2）用特殊装置立即将物块A卡住，B将做竖直上抛运动，B继续上升的高度为 h=$\frac{{v}_{m}^{2}}{2g}$=$\frac{l}{12}$
故整个过程中物块B上升的最大高度为 H=l+x+h=$\frac{19}{12}$l
答：
（1）物块A的最大速度为$\sqrt{\frac{gl}{6}}$．
（2）整个过程中物块B上升的最大高度是$\frac{19}{12}$l．

点评 解决本题的关键要把握两点：一是把握A的合力为零时速度达到最大这个条件．二是正确分析系统的能量是如何转化，运用系统的机械能守恒研究A的最大速度．