Question

如下左图所示，真空中有两水平放置的平行金属板C、D，上面分别开有正对的小孔O₁和O₂，金属板C、D接在正弦交流电源上，两板间的电压u_CD随时间t变化的图线如下右图所示。t=0时刻开始，从D板小孔O₁处连续不断飘入质量为m=3.2×10^-25kg，电荷量为q=1.6×10^-19C的带正电的粒子（设飘入速度很小，可视为零）。在C板外侧有以MN为上边界CM为左边界的匀强磁场，MN与C金属板平行，相距d=10cm，O₂C的长度L=10cm，匀强磁场磁感应强度的大小为B=0.10T，方向如图所示，粒子的重力及粒子间相互作用力忽略不计。平行金属板C、D之间的距离足够小，粒子在两板间的运动时间可忽略不计。求：

⑴带电粒子经小孔O₂进入磁场后，能飞出磁场边界MN的最小速度为多大？

⑵从0到0.04s末时间内哪些时间段飘入小孔O₁的粒子能穿过电场并飞出磁场边界MN？

⑶磁场边界MN有粒子射出的长度范围有多长。（计算结果保留三位有效数字）

Answer 1

（1）设粒子飞出磁场边界MN的最小速度为v₀，粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力知：

qv₀B=mv₀²/R₀   (2分)

粒子恰好飞出磁场，则有：R₀=d   (2分)

所以最小速度 v₀=qBd/m=5×10³m/s   (2分)

(2)由于C、D两板间距离足够小，带电粒子在电场中运动时间可忽略不计，故在粒子通过电场过程中，两极板间电压可视为不变，设恰能飞出磁场边界MN的粒子在电场中运动时CD板对应的电压为U₀，则根据动能定理知：

qU₀=mv₀²/2   (2分)

得：U₀=mv₀²/2q=25V   (2分)

根据图像可知：U_CD=50sin50πt，25V(或-25V)电压对应的时间分别为： 7/300s和11/300s，所以粒子在0到0.04s内飞出磁场边界的时间为7/300s—11/300s (2分)

（3）设粒子在磁场中运动的最大速度为v_m，对应的运动半径为R_m，则有：

qU_m=mv_m²/2    (1分)          qv_mB=mv_m²/R_m   (1分)

粒子飞出磁场边界时相对小孔向左偏移的最小距离为：

x=R_m-(R_m²-d²)^1/2=0.1×(2^1/2-1)m≈0.0414m   (2分)

磁场边界MN有粒子射出的长度范围为：△x=d-x=0.0586m   (2分)