Question

如图甲所示，建立Oxy坐标系，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，第一四象限有磁场，方向垂直于Oxy平面向里．位于极板左侧的粒子源沿x轴间右连接发射质量为m、电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子在0～3t₀时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极边缘的影响）．



已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t₀时，刻经极板边缘射入磁场．上述m、q、l、t₀、B为已知量．（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况）
（1）求电压U₀的大小．
（2）求t₀时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径．
（3）带电粒子在磁场中的运动时间．

Answer 1

（1）t=0时刻进入两极板的带电粒子在电场中做匀变速曲线运动，t₀时刻刚好从极板边缘射出，在y轴负方向偏移的距离为

l

2

，则有     E=

U0

l

   Eq=ma    
  

l

2

=

1

2

at₀²
联立解得，两极板间偏转电压为U0=

ml2

qt02

．
（2）t₀时刻进入两极板的带电粒子，两极板没有电场，带电粒子做匀速直线运动．
带电粒子沿x轴方向的分速度大小为v₀=

l

t0

设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为R，则有qvB=m

v02

R

联立解得，R=

ml

qBt0

（3）2t₀时刻进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间最短．带电粒子离开电场时沿y轴正方向的分速度为v_y=at₀，
设带电粒子离开电场时速度方向与y轴正方向的夹角为α，则
   tanα=

v0

vy

联立解得α=

π

4

，带电粒子在磁场运动的轨迹图如图所示，圆弧所对的圆心角为2α=

π

2

，所求最短时间为    tmin=

1

4

T．
带电粒子在磁场中运动的周期为T=

2πm

qB

，联立以上两式解得
   tmin=

πm

2qB

．
同理，t=0进入两极板的带电粒子在磁场中运动的时间最长为：tmax=

3πm

2qB

所以，带电粒子在磁场中的运动时间：

πm

2qB

≤t≤

3πm

2qB

．
答：
（1）电压U₀的大小为U0=

ml2

qt02

．
（2）t₀时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径R=

ml

qBt0

．
（3）带电粒子在磁场中的运动时间为

πm

2qB

≤t≤

3πm

2qB

．