Question

如图所示，在平面坐标系xOy内，同种带正电离子，质量m=1.0×10^-20kg、带电量q=1.0×10^-10C，以相同速度不断从C点垂直射入匀强电场，偏转后通过极板MN上的小孔O离开电场时的速度大小为v=2.0×10⁶m/s，方向与x轴成30°角斜向上．在y轴右侧有一个圆心位于O'（0.01m，0）点，半径r=0.01m的圆形磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度B=0.01T，有一垂直于x轴的面积足够大的竖直荧光屏PQ置于坐标x₀=0.04m处．已知NC之间的距离d=0.02m．试求：
（1）粒子在磁场中的运动轨迹半径；
（2）偏转电场强度的大小；
（3）若圆形磁场区可沿x轴移动，圆心O'在x轴上的移动范围为（0.01m，+∞），由于磁场位置的不同，导致粒子打在荧光屏上的位置也不同，求粒子打在荧光屏上点的纵坐标的范围．

Answer 1

分析：（1）离子在磁场中做匀速圆周运动，由洛仑兹力提供向心力，由牛顿第二定律求轨迹半径；
（2）粒子射入电场后做类平抛运动，将速度v分解为沿x轴和y轴两个方向，得到初速度，根据动能定理求场强E；
（3）由几何知识分析并求解离子打在荧光屏的最低点和最高点的纵坐标，即得到纵坐标的范围．

解答：解：（1）离子在磁场中做匀速圆周运动，由于洛仑兹力提供向心力，则有：qvB=m

v2

R

   ①
解得：R=0.02m   
（2）将速度v分解为如图所示的x方向速度v₁和y方向速度v₂，
得到：v₂=vsin30°=0.5v    ②
则初速度为v₀=v_c ③
离子在偏转电场中，由动能定理：Eqd=

1

2

mv²-

1

2

mv

2 2

           ④
联立②③④解得：E=7.5×10³V/m                 
（3）当圆心O′在x=0.01m时，由于R=0.02m=2r，所以离子从x轴上的D点离开磁场．   
由几何关系可知，离子打在荧光屏的最低点，纵坐标为：y₁=-（x₀-2r）tan30°=

2 3

3

×10-2m  ⑤
随着磁场向右移动，荧光屏上亮点的位置逐渐向上移动，当速度v的方向与磁场边界相切时，离子将打在荧光屏的最高位置．其最高点的纵坐标为：
  y₂=x₀tan30°=

4 3

3

×10-2m  ⑥
故离子打在荧光屏上的点纵坐标范围为[

2 3

3

×10-2m，

4 3

3

×10-2m]
答：
（1）粒子在磁场中的运动轨迹半径为0.02m；
（2）偏转电场强度的大小为7.5×10³V/m；
（3）粒子打在荧光屏上点的纵坐标范围为[

2 3

3

×10-2m，

4 3

3

×10-2m]．

点评：本题是带电粒子在复合场中运动的问题，磁场中由牛顿第二定律求轨迹半径，由几何知识求相关距离是常用的方法．电场中运用运动的分解法和动能定理处理此类问题．