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如图所示,一个重为G的小球套在竖直放置的半径为R的光滑圆环上,一个劲度系数为k,自然长度为L(L<2R)的轻质弹簧,一端与小球相连,另一端固定在大环的最高点,求小球处于静止状态时,弹簧与竖直方向的夹角φ.
分析:以小球为研究对象,分析受力情况,作出力图.根据平衡条件,运用三角形相似法得到弹簧的弹力大小,再由胡克定律和几何知识求出弹簧与竖直方向的夹角φ.
解答:解:以小球为研究对象,分析受力情况:竖直向下的重力G,弹簧的弹力F,圆环的弹力N,N沿半径方向背离圆心O,作出力图如图所示.利用合成法,将重力G和弹力N合成,合力F应与弹簧弹力F平衡.由图看出,力的三角形△BCD与△AOB相似,设AB长度为l,由三角形相似得:
    
mg
F
=
.
AO
AB
=
R
l
,即得:F=
mgl
R

又由胡克定律有F=k(l-L),而l=2Rcosφ?
联立上述各式可得:cosφ=
kL
2(kR-G)

解得:φ=arccos
kL
2(kR-G)
?
答:小球处于静止状态时,弹簧与竖直方向的夹角为arccos
kL
2(kR-G)
点评:本题中非直角类型的物体的平衡问题,采用数学上三角形相似法,将力的关系变成边长的关系.也可以运用三角函数法求解.
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2
R
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