Question

6．如图甲所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上．在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场（电场区域足够大，图中未画出），现在垂直于xOy平面加一足够大的磁场（如图乙所示，设向外为磁场的正方向，B₀知值）．在t=0刻，一个质量为m电量为q带正电小球，从坐标原点D处以v₀度沿直线OP方向运动，为使小球能在以后的运动中垂直OP连线方向通过D（4L，3L）点，取g=10m/s²，求：

（1）场强的大小和方向；
（2）满足条件的t₁表达式；
（3）进一步的研究发现，通过D点之后小球的运动具有周期性，试求出此运动的周期．

Answer 1

分析 （1）小球做匀速直线运动，处于平衡状态，由平衡条件可以求出电场强度．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律求出粒子的轨道半径，作出粒子运动轨迹，然后求出粒子的时间．
（3）根据粒子做圆周运动的周期公式，分析清楚粒子的运动过程，求出运动周期．

解答 解：（1）0-t₁内无磁场，小球在重力和电场力作用下沿v₀方向做匀速直线运动，
有：qE-mg=0，解得：$E=\frac{mg}{q}$，方向竖直向上；
（2）在t₁以后的t₀时间里，小球在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，
设其半径为R，由牛顿第二定律得：$q{B_0}{v_0}=\frac{mv_0^2}{R}$，解得：$R=\frac{{m{v_0}}}{{q{B_0}}}$，
根据题意，要使小球的运动方向改变270°（然后沿直线运动），只能足匀速运动到D点以后的某个位置，
在磁场中运动$\frac{3}{4}$个周期（当然可再持续nT₀，然后沿直线垂直通过D点，如图CD距离应等于圆周运动的半径R，
在t₁时间内小球由O点匀速运动到C点，对应位移：$s=\sqrt{（4L）_{\;}^2+{{（3L）}^2}}+R$，
故：${t_1}=\frac{5L+R}{v_0}$，代入得：${t_1}=\frac{5L}{v_0}+\frac{m}{{q{B_0}}}$；
（3）由图可知小球做匀速圆周的周期：${T_0}=\frac{2πR}{v_0}=\frac{2πm}{{{B_0}q}}$，
考虑简单情况：t₀=$\frac{3}{4}$T  （对应$\frac{3}{4}$圈），小球做整个大回旋的周期T=8t₀，
代入得：$T=\frac{12πm}{{{B_0}q}}$，考虑到周期性，则：$T=8（\frac{3}{4}+n）{T_0}$  n=0、1、2、3…；
答：（1）场强的大小为：$\frac{mg}{q}$，方向：竖直向上；
（2）满足条件的t₁表达式为：${t_1}=\frac{5L}{v_0}+\frac{m}{{q{B_0}}}$；
（3）此运动的周期：$T=8（\frac{3}{4}+n）{T_0}$  n=0、1、2、3…．

点评 本题考查了求电场强度、时间与周期问题，分析清楚粒子运动过程是正确解题的前提与关键，应用平衡条件、牛顿第二定律、粒子做圆周运动的周期公式即可正确解题．