Question

如图所示，在光滑水平面向右的直线上有均可视为质点的A、B、C三个弹性小球，其质量分别为m_A=2m、m_B=m、m_C=3m，其中A、B之间用一弹簧相连．开始时A、B、C都处于静止状态，弹簧处于原长，且C距B足够远，现给A一个瞬间冲量使A获得一个水平向右的初速度v₀．当B与C发生碰撞时，时间极短且无机械能损失．（弹簧始终处于弹性限度内）
（1）由于B与C相碰时弹簧的形变未知，试分析计算B与C相碰前弹簧弹性势能E_p的范围．
（2）B以最大速度与C相碰后，弹簧所具有的最大弹性势能大小E_p?．

Answer 1

分析：（1）当弹簧处于原长时，弹性势能最小E_min=0，当A、B两小球速度相等为时，弹性势能最大为E_max，由动量守恒定律及能量守恒定律列式即可求解；
（2）分别对BC碰撞前后根据动量守恒定律和能量守恒定律列式，求出速度，当A、B相互时，速度相等，弹性势能取最大，再根据动量守恒定律和能量守恒定律列式即可求解．

解答：解：（1）当弹簧处于原长时，弹性势能最小E_min=0
当A、B两小球速度相等为时，弹性势能最大为E_max
由动量守恒有  2mv₀=（2m+m）v            
由能量守恒   

1

2

×2mv02=

1

2

×3mv2+Emax     
解之得  E_max=

1

3

mv02                         
所以0≤EP≤

1

3

mv02                       
（2）设碰前B的最大速度为v_B，此时A的速度为v_A，B与C碰后的速度为v′_B C的速度为v′_C
B与C相碰前；由动量守恒 2mv₀=2mv_A+mv_B          
B的速度最大时弹簧处于原长，由能量守恒有

1

2

×2mv02=

1

2

×2mvA2+

1

2

mvB2            
解之得 vA=

2m-m

2m+m

v0=

1

3

v0             
vB=

4m

2m+m

v0=

4

3

v0          
B与C相碰后：动量守恒mv_B=mv′_B+3mv′_C
能量守恒 

1

2

mvB2=

1

2

mv′B2+

1

2

3mv′C2
解之得v′B=

1-3

1+3

v0=-

2

3

v0        
v′C=

2

1+3

×

4

3

v0=

2

3

v0            
当A、B相互时，速度相等，弹性势能取最大
2mv_A+mv′_B=（2m+m）v_共
E′pmax=

1

2

×2mvA2+

1

2

mv′B2-

1

2

(2m+m)v共2
解得：E′pmax=

1

3

mv02
答：（1）由于B与C相碰时弹簧的形变未知，B与C相碰前弹簧弹性势能E_p的范围为0≤EP≤

1

3

mv02．
（2）B以最大速度与C相碰后，弹簧所具有的最大弹性势能大小E_p?为

1

3

mv02．

点评：本题主要考查了动量守恒定律及能量守恒定律的应用，知道当A、B相互时，速度相等，弹性势能取最大．