Question

如图所示，在倾角为θ＝37°的足够长的斜面上，有质量为m₁＝2kg的长木板。开始时，长木板上有一质量为m₂＝1kg的小铁块(视为质点)以相对地面的初速度v₀＝2m／s 从长木板的中点沿长木板向下滑动，同时长木板在沿斜面向上的拉力作用下始终做速度为v＝1m／s的匀速运动，小铁块最终与长木板一起沿斜面向上做匀速运动。已知小铁块与长木板、长木板与斜面间的动摩擦因数均为μ＝0.9，重力加速度为g＝10m／s²，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8

试求：（1）小铁块在长木板上滑动时的加速度；

（2）长木板至少多长?

（3）在小铁块从木板中点运动到与木板速度相同的过程中拉力的功率。

Answer 1

【答案】（1）a＝1.2 m/s²  沿斜面向上（2）7.5m（3）40.8W

解析：(1)设小铁块的加速度大小为a，对小铁块受力分析有（取沿斜面向上为正方向）

f₂－m₂gsinθ＝ma          

f₂＝μN₂                                      

     N₂＝m₂gcosθ                  

   得a＝g(μcosθ－sinθ)＝1.2 m/s²  沿斜面向上  (3’)

(2)小铁块先沿斜面向下匀减速至速度为零再沿斜面向上匀加速，最终获稳定速度v，设历时t后小铁块达稳定速度，则

v－(－v₀) ＝at                   

 t＝(v₀＋v)/ g ( μcosθ－sinθ) ＝2.5s   

 t内小铁块位移为s₁木板位移为s₂

s₁＝ (v₀－v)t/2      方向沿斜面向下   

s₂＝vt        方向沿斜面向上           

L/2≥s₂＋s                            

 L≥2（s₂＋s）＝(v₀＋v)²/g ( μcosθ－sinθ) ＝7.5m   ( 5’)

 (3) 对木板

F＝f₂＋f₁＋m ₁gsinθ         

f₁＝μN₁                                         

N₁＝(m₁＋m₂)gcosθ         

W＝F s₂                            

W=102J           ( 5’)   

另一解法：F＝f₂＋f₁＋m ₁gsinθ         

f₁＝μN₁                                         

N₁＝(m₁＋m₂)gcosθ