Question

20．甲、乙两辆车在同一直轨道上向右匀速行驶，甲车的速度为v₁=16m/s，乙车的速度为v₂=12m/s，乙车在甲车的前面．当两车相距L=6m时，两车同时开始刹车，从此时开始计时，甲车以a₁=2m/s²的加速度刹车，6s后立即改做匀速运动，乙车刹车的加速度为a₂=1m/s²．求：
（1）从两车刹车开始计时，两车速度相等的时刻．
（2）两车相遇的次数及各次相遇的时刻．

Answer 1

分析 假设经过时间t，两车相遇，并且两车均做匀减速运动，列出位移关系式，解出时间，讨论结果．
列位移关系方程，求解时间的可能数值，结合实际运动情境分析求解可能的相遇次数．

解答 解：（1）设刹车后经过t时间两车速度相等，有：
v₁-a₁t=v₂-a₂t，
解得：t=4s，
6s后甲车匀速，速度v=16-2×6m/s=4m/s，再次相等有：
v=v₂-a₂t′，
解得：t′=8s；
（2）在甲减速时，设经时间t相遇，甲和乙的位移分别为x₁、x₂，则有：
${x}_{1}={v}_{1}t-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$，${x}_{2}={v}_{2}t-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$
x₁+x₂=L，得：t₁=2s，t₂=6s；
甲车减速时间恰好为6s，即在甲车减速阶段，相遇两次，
第一次t₁=2s，第二次t₂=6s，
此时甲车的速度为：v′₁=v₁-a₁t₂=4m/s，
乙车的速度为：v′₂=v₂-a₂t₂=6m/s，
设再经△t甲追上乙，有：$v{′}_{1}△t=v{′}_{2}△t-\frac{1}{2}{a}_{2}（△t）^{2}$，
代入数据解得：△t=4s，
此时乙仍在做减速运动，此解成立，
所以甲、乙两车第3次相遇，相遇时刻为t₃=t₂+△t=10s．
答：（1）从两车刹车开始计时，两车速度相等的时刻为8s．
（2）两车相遇的次数为3次，及各次相遇的时刻分别为2s，6s和10s．

点评 本题中涉及运动情境较为复杂，为比较麻烦的追及相遇问题，要结合位移关系和速度关系并联系实际运动情境加以解决，难度较大