Question

18．在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示．P是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒．高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h，重力加速度为g．
（1）若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间；
（2）求能被屏探测到的微粒的初速度范围；
（3）若打在探测屏A、B两点的微粒的动能相等，求L与h的关系．

Answer 1

分析 （1）粒子水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动；根据几何关系可明确粒子下降的高度，再由竖直方向的自由落体运动可求得飞行时间；
（2）能被探测到的粒子高度范围为h至2h，水平位移相同，根据平抛运动规律可知速度范围；
（3）粒子在运动中机械能守恒，根据AB两点的速度关系以及机械能守恒列式，联立即可求得L与h的关系．

解答 解：（1）打在中点的微粒$\frac{3}{2}$h=$\frac{1}{2}$gt²①
解得t=$\sqrt{\frac{3h}{g}}$②
（2）打在B点的微粒v₁=$\frac{L}{{t}_{1}}$
2h=$\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$    ③
解得v₁=L$\sqrt{\frac{g}{4h}}$   ④
同理，打在A点的微粒初速度v₂=L$\sqrt{\frac{g}{2h}}$    ⑤
微粒初速度范围L$\sqrt{\frac{g}{4h}}$≤v≤L$\sqrt{\frac{g}{2h}}$⑥
（3）由能量关系$\frac{1}{2}$mv₂²+mgh=$\frac{1}{2}$mv₁²+2mgh
代入④⑤两式可得：
L=2$\sqrt{2}$h；
答：（1）若微粒打在探测屏AB的中点，微粒在空中飞行的时间$\sqrt{\frac{3h}{g}}$；
（2）能被屏探测到的微粒的初速度范围为L$\sqrt{\frac{g}{4h}}$≤v≤L$\sqrt{\frac{g}{2h}}$；
（3）若打在探测屏A、B两点的微粒的动能相等，L=2$\sqrt{2}$h；

点评 本题考查功能关系以及平抛运动规律的应用，要注意明确平抛运动的研究方法为分别对水平和竖直方向进行分析，根据竖直方向上的自由落体以及水平方向上的匀速直线运动规律进行分析求解．