Question

9．如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是（　　）

• A． 飞行器轨道半径越大，周期越长
• B． 飞行器轨道半径越大，速度越大
• C． 若测得飞行器绕星球转动的周期和张角，可得到星球的平均密度
• D． 若测得飞行器绕星球转动的周期及其轨道半径，可得到星球的平均密度

Answer 1

分析 根据开普勒第三定律，分析飞行器的周期与轨道半径的关系；飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，由星球的万有引力提供向心力，根据万有引力定律和几何知识、密度公式可求解星球的平均密度．

解答 解：A、根据开普勒第三定律$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$=k，可知飞行器的轨道半径越大，飞行器的周期越长．故A正确；
B、根据卫星的速度公式 v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，可知飞行器的轨道半径越大，速度越小，故B错误；
C、设星球的质量为M，半径为R，平均密度为，ρ．张角为θ，飞行器的质量为m，轨道半径为r，周期为T．
对于飞行器，根据万有引力提供向心力得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
由几何关系有：R=rsin$\frac{θ}{2}$
星球的平均密度 ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$
由以上三式知测得周期和张角，可得到星球的平均密度．故C正确；
D、由G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$可得：M=$\frac{4π{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，可知若测得周期和轨道半径，可得到星球的质量，但星球的半径R未知，不能求出星球的平均密度．故D错误．
故选：AC

点评 本题的关键是要掌握开普勒第三定律和万有引力等于向心力这一基本思路，结合几何知识进行解题．