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    14．如图所示，竖直平面内有一半径为r、电阻为R1、粗细均匀的光滑半圆形金属环，在M、N处与距离为2r、电阻不计的平行光滑金属导轨ME、NF相接，EF之间接有电阻R2，已知R1=12R，R2=4R．在MN上方及CD下方有水平方向的匀强磁场Ⅰ和Ⅱ，磁感应强度大小均为B．现有质量为m、电阻不计的导体棒ab，从半圆环的最高点A处由静止下落，在下落过程中导体棒始终保持水平，与半圆形金属环及轨道接触良好，设平行导轨足够长．已知导体棒下落r/2时的速度大小为v1，下落到MN处时的速度大小为v2．
    （1）求导体棒ab从A处下落$\frac{r}{2}$时的加速度大小；
    （2）若导体棒ab进入磁场Ⅱ后棒中电流大小始终不变，求磁场Ⅰ和Ⅱ之间的距离h和R2上的电功率P2；
    （3）若将磁场Ⅱ的CD边界略微下移，导体棒ab进入磁场II时的速度大小为v3，要使其在外力F作用下做匀加速直线运动，加速度大小为a，求所加外力F随时间变化的关系式．

    分析 （1）导体棒受到重力和安培力的作用，注意此时导体棒的有效切割长度和外电路的串并联情况．
    （2）导体棒ab进入磁场II后棒中电流大小始终不变，说明导体棒匀速运动，导体棒在下落h的过程中做匀变速直线运动，根据运动规律可求出下落距离h，根据并联电路可知R2上消耗的功率占整个电路的$\frac{3}{4}$，总电功率等于导体棒重力功率．
    （3）正确进行受力分析，注意安培力的表达式，然后根据牛顿第二定律求解即可．

    解答 解：（1）以导体棒为研究对象，棒在磁场I中切割磁感线，棒中产生产生感应电动势，导体棒ab从A下落 0.5r时，导体棒在重力与安培力作用下做加速运动，
    由牛顿第二定律，得：
    mg-BIL=ma，
    式中L=$\sqrt{3}$r，I=$\frac{BL{v}_{1}}{{R}_{总}}$
    当导体棒ab下落0.5r时，由几何关系可知，棒ab以上的圆弧的长度是半圆的总长度的$\frac{2}{3}$，
    所以ab以上的部分，电阻值是8R，ab以下的部分的电阻值是4R+4R，
    式中：R总=$\frac{8R×（4R+4R）}{8R+4R+4R}$=4R
    由以上各式可得到：a=g-$\frac{{3{B^2}{r^2}{v_1}}}{4mR}$
    故导体棒ab从A下落 0.5r时的加速度大小为：a=g-$\frac{{3{B^2}{r^2}{v_1}}}{4mR}$．
    （2）当导体棒ab通过磁场Ⅱ时，若安培力恰好等于重力，棒中电流大小始终不变，
    即：mg=BI×2r=B×$\frac{B•2r•vt}{{R}_{并}}$×2r=$\frac{4{B}^{2}{r}^{2}{v}_{t}}{{R}_{并}}$
    式中：R并=$\frac{12R•4R}{12R+4R}$=3R
    解得：vt=$\frac{3mgR}{4{B}^{2}{r}^{2}}$
    导体棒从MN到CD做加速度为g的匀加速直线运动，有vt2-v22=2gh，
    得：h=$\frac{{9{m^2}g{R^2}}}{{32{B^4}{r^4}}}$-$\frac{{{v_2}^2}}{2g}$
    此时导体棒重力的功率为：PG=mgvt=$\frac{3{m}^{2}{g}^{2}R}{4{B}^{2}{r}^{2}}$，
    根据能量守恒定律，此时导体棒重力的功率全部转化为电路中的电功率，
    即P电=P1+P2=PG=$\frac{3{m}^{2}{g}^{2}R}{4{B}^{2}{r}^{2}}$
    所以，P2=$\frac{3}{4}$PG=$\frac{{9{m^2}{g^2}R}}{{16{B^2}{r^2}}}$．
    （3）设导体棒ab进入磁场Ⅱ后经过时间t的速度大小为v′t，此时安培力大小为：F′=$\frac{4{B}^{2}{r}^{2}v{′}_{t}}{3R}$
    由于导体棒ab做匀加速直线运动，有：v′t=v3+at
    根据牛顿第二定律，有：F+mg-F′=ma
    即：F+mg-$\frac{4{B}^{2}{r}^{2}（{v}_{3}+at）}{3R}$=ma
    由以上各式解得：F=$\frac{{4{B^2}{r^2}a}}{3R}$t+$\frac{{4{B^2}{r^2}{v_3}}}{3R}$+m（a-g）
    答：（1）导体棒ab从A处下落0.5r时的加速度大小是g-$\frac{{3{B^2}{r^2}{v_1}}}{4mR}$．
    （2）磁场Ⅰ和Ⅱ之间的距离h是$\frac{{9{m^2}g{R^2}}}{{32{B^4}{r^4}}}$-$\frac{{{v_2}^2}}{2g}$，R2上的电功率P2是$\frac{{9{m^2}{g^2}R}}{{16{B^2}{r^2}}}$．
    （3）所加外力F随时间变化的关系式是F=$\frac{{4{B^2}{r^2}a}}{3R}$t+$\frac{{4{B^2}{r^2}{v_3}}}{3R}$+m（a-g）．

    点评 本题考查了关于电磁感应的复杂问题，对于这类问题一定要做好电流、安培力、运动情况、功能关系这四个方面的问题分析．

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    （1）若ω=ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0；
    （2）若ω=2ω0，求小物块受到的摩擦力的大小和方向．

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    C．运动的位移是$\frac{2\sqrt{2}{{v}_{0}}^{2}}{g}$
    D．竖直分速度大小等于水平分速度大小

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    C．电容器两板正对面积增大
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