Question

2．德国亚琛工业大学的科研人员成功开发了一种更先进的磁动力电梯升降机，满足上千米摩天大楼中电梯升降的要求．如图所示是一种磁动力电梯的模拟机，即在竖直平面内有两根很长的平行竖直轨道，轨道间有垂直轨道平面的匀强磁场B₁和B₂，且B₁和B₂的方向相反，B₁=B₂=1T，电梯桥厢固定在如图所示的一个用超导材料制成的金属框abcd内（电梯桥厢在图中未画出），并且与之绝缘．电梯载人时的总质量为m=5×10³kg，所受阻力大小为F_f=500N，金属框垂直轨道的边长为L_cd=2m，两磁场的宽度均与金属框的边长L_ac相同，金属框整个回路的电阻为R=1.0×10^-3Ω，问：
（1）假如两磁场始终竖直向上做匀速运动．设计要求电梯以v₁=10m/s的速度向上匀速运动，那么，磁场向上运动的速度v₀应该为多大？
（2）假如t=0时两磁场由静止开始向上做匀加速运动，加速度大小为a=1.5m/s²，电梯可近似认为过一小段时间后也由静止开始向上做匀加速运动，t=5s末电梯的速度多大？电梯运动的时间内金属框中消耗的电功率多大？从电梯开始运动到t=5s末时间内外界提供给系统的总能量为多大？

Answer 1

分析 （1）电梯受三个力作用：重力，阻力，安培力，要想匀速运动则要求安培力要克服重力和阻力．据此可以求的磁场速度
（2）①由磁场的运动可以求得安培力，进而由牛顿第二定律求恶的电梯的加速度，之后可得5s末的速度．
②由磁场速度减电梯速度可以得到金属矿相对磁场的速度，进而可以求的金属框中的电流，然后可以求的功率．
③由能量守恒可知外界提供的能量应为：电梯动能增加，重力势能增加，克服阻力的功，以及产生的电热等四者之和．

解答 解：（1）电梯向上匀速运动时，框中感应电流大小为$I=\frac{2{B}_{1}{L}_{cd}（{v}_{0}-{v}_{1}）}{R}$
金属框所受安培力F=2B₁IL_cd
安培力大小与重力和阻力之和相等，所以F=mg+F_f
即$\frac{4{{B}_{1}}^{2}{{L}_{cd}}^{2}（{v}_{0}-{v}_{1}）}{R}=mg+{F}_{f}$
得：v₀=13.2m/s
（2）电梯向上匀加速运动时，金属框中感应电流大小为  $I=\frac{2{B}_{1}{L}_{cd}（{v}_{2}-{v}_{1}）}{R}$
金属框所受安培力F=2B₁IL_cd
由牛顿定律得：F-mg-F_f=ma
 即   $\frac{4{{B}_{1}}^{2}{{L}_{cd}}^{2}（at-{v}_{1}）}{R}-mg-{F}_{f}=ma$   
解得：v₁=3.9m/s
金属框中感应电流为：I=$I=\frac{2{B}_{1}{L}_{cd}（at-{v}_{1}）}{R}$=1.44×10⁴A
A金属框中的电功率为：P₁=I²R=2.07×10⁵W
电梯上升高度为：$h=\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2a}=5.07m$
上升时间为：$t′=\frac{{v}_{1}}{a}=2.6s$
外界提供的总能量为E=mgh+F_fh+$\frac{1}{2}$mv₁²+P₁t′=8.3×10⁵J
答：
（1）v₀=13.2m/s
（2）5s末速度为：3.9m/s
金属框中的电功率为：2.07×10⁵W
外界提供的总能量为：8.3×10⁵J

点评 本题考查导体切割磁感线中的能量问题，其中第二大问的第三小问是比较容易出错的，外界提供的能量转化的方式比较多，所以容易遗漏．