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如图所示,x轴上方有竖直向下的匀强电场,从x轴A点(5
3
h,0)处一质量为m,电荷量为q的带正电粒子(不计粒子重力)以速度v0垂直x轴进入一圆形磁场区域,速度方向指向圆形磁场的圆心,磁场方向垂直纸面向外,粒子飞出磁场后,以vB=
3
2
vO的速度垂直打到y轴上B点(0,h).
(1)求匀强电场的电场强度E和圆形磁场的磁感应强度B的大小.
(2)求带电粒子从A点运动到B点的时间.
(3)若粒子在A点可以沿任意方向垂直磁场进入,并使速度大小增为2v0,则粒子在磁场里运动的最长时间.为多少?
分析:采用逆向思维:粒子在电场中只受电场力,做类平抛运动.将速度分解,可求出粒子进入圆形磁场区域时的速度大小.根据牛顿定律求出场强E的大小.粒子在磁场中,洛伦兹力提供向心力,做匀速圆周运动.分析粒子进入磁场的速度方向与进入磁场时的速度方向相同条件,根据圆的对称性,由几何知识得到半径,周期T的表达式.大而确定磁场的磁感应强度B的大小;并由运动学公式可求出从A点运动到B点的时间; 若粒子速度增大时,根据圆心角与周期来确定运动的时间长短.
解答:解:(1)沿着粒子运动反方向研究:粒子从B点射入电场,在电场中作类平抛运动,射出电场时,如图所示.
设射出粒子的速度与x轴的夹角为θ,由速度关系,则有:
vB
v0
=cosθ

而vB=
3
2
vO,所以解得:θ=30°
vy=v0sin30°=
v0
2

在电场力的方向,根据
v
2
y
=2ah
a=
qE
m
,可得:E=
m
v
2
0
8qh

在x轴方向,粒子的位移,x=vBt=
vy
a
vB=2
3
h

粒子射出电场后做匀速运动后,沿着圆形磁场的半径方向射入,经过偏转后从A点射出.
粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动,则有Bqv=m
v2
R

设圆周运动的半径为R,根据几何关系,可得:(5
3
h-2
3
h-R)sin30°=R

解得:R=
3

所以,B=
mv0
qR
=
3
mv0
3qh

(2)粒子做类平抛的运动的时间,t1=
vy
a
=
v0
2
v
2
0
8h
=
4h
v0

粒子做匀速直线运动的时间为t2,匀速运动的位移为x=
R
tan30°
=3h
,所以时间t2=
3h
v0

粒子做匀速圆周运动的时间为t3,根据入射角度,可知运动轨迹对应的圆心角为120°,则有t3=
1
3
×
2πm
qB
=
2
3
πh
3v0

则带电粒子从A点运动到B点的时间为t=t1+t2+t3=
21+2
3
π
3v0
h

(3)速度大小增为2v0,则粒子在磁场中运动半径增加2倍,即为8h,而运动的周期没有变化;当对应的圆心角越大时,运动时间越长.
根据前面可知,圆形磁场的半径与粒子运动的轨道相等,即为4h,当粒子在磁场中运动对应的弦最长,则时间也最长.
最长弦为8h,而粒子运动的半径也为8h,根据几何关系可得,圆心角为60°,所以t=
T
6
=
1
6
×
2πm
Bq
=
3
πh
3v0

答:(1)求匀强电场的电场强度
m
v
2
0
8qh
和圆形磁场的磁感应强度B的大小
3
mv0
3qh

(2)求带电粒子从A点运动到B点的时间
21+2
3
π
3v0
h

(3)若粒子在A点可以沿任意方向垂直磁场进入,并使速度大小增为2v0,则粒子在磁场里运动的最长时间为
3
πh
3v0
点评:本题带电粒子在组合场中运动,分别采用不同的方法:电场中运用运动的合成和分解,磁场中圆周运动处理的基本方法是画轨迹.采用逆向思维从而降低解题难度,这通常也是处理题目的一种方法.
练习册系列答案
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如图所示,x轴上方有垂直纸面向里的匀强磁场.有两个质量相同,电荷量也相同的带正、负电的离子(不计重力),以相同速度从O点射入磁场中,射入方向与x轴均夹30°角.求正、负离子在磁场中运动半径比
r
r
和时间比
t
t
分别是多少?

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如图所示,x轴上方有垂直纸面向里的匀强磁场.有两个质量相同,电荷量也相同的带正、负电的离子(不计重力),以相同速度从O点射入磁场中,射入方向与x轴均夹θ角.则正、负离子在磁场中(  )?

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(1)粒子到达Q点时的速度大小和方向
(2)粒子在磁场中运动的轨道半径
(3)粒子在磁场中的运动时间
(4)粒子离开P点后第一次到达Y轴时的位置坐标.

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