Question

如图所示，质量为m的小球用长为l的轻质细线悬挂于O点，与O点处于同一水平线的P点处有一根光滑的细钉，已知OP=

l

2

，在A点给小球一个水平向左的初速度v₀，发现小球恰好能到达跟P点在同一竖直线上的最高点B，则
（1）小球到达B点时的速度是多大？
（2）若不计空气阻力，则给小球的初速度v₀应该多大？
（3）若v0=2

gl

，那么小球从点A到B的过程中克服空气阻力做功为多少？

Answer 1

分析：小球恰好能到达跟P点在同一竖直线上的最高点B，这是圆周运动里的临界问题，
我们根据这个临界问题得出物理等式．
物体做曲线运动求解速度，我们应该考虑机械能守恒或动能定理．
对于变力做功的求解，首选动能定理．

解答：解：（1）因小球恰好能到达跟P点在同一竖直线上的最高点B，所以由圆周运动的知识得：
mg=m

vB2

l 2

①
解得：vB=

gl 2

②
（2）小球在从点A到B的过程中，只有重力对小球做功，故它的机械能是守恒的，以点A所在的平面为参考平面，由机械能守恒定律得

1

2

mv02=

1

2

mvB2+mg?(l+

l

2

)③
解②、③两式，得v0=

7gl 2

④
（3）因2

gl

＞

7gl 2

，小球恰好能到达跟P点在同一竖直线上的最高点B，所以在小球从点A到B的过程中要克服空气阻力做功，设此值为W，则由动能定理得-mg?(l+

l

2

)-W=

1

2

mvB2-

1

2

mv02⑤
解得    W=

mgl

4

答：（1）小球到达B点时的速度是

gl 2

（2）若不计空气阻力，则给小球的初速度应该是

7gl 2

（3）小球从点A到B的过程中克服空气阻力做功为

mgl

4

点评：选取研究过程，运用动能定理解题．动能定理的优点在于适用任何运动包括曲线运动．
动能定理的应用范围很广，可以求速度、力、功等物理量，特别是可以去求变力功．