Question

（2009?东莞模拟）如图所示，两条平行长直金属导轨长为l，间距为d，与水平面成θ角倾斜放置，导轨底端与固定电阻R相连，上端与一小段光滑圆弧轨道相连，圆弧两端点的切线分别沿着倾斜直导轨与竖直方向，直导轨平面内垂直穿过有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，有一导体棒ab，质量为m，电阻为

R

2

，与直导轨之间的动摩擦因数为μ，导体棒ab以大小为v₀的初速度从直导轨的最底端沿导轨向上滑出，经过圆弧轨道，又返回磁场时，恰以大小为

v0

2

的速度匀速经过磁场而返回起始点．整个运动过程中导体棒始终与两导轨相垂直且接触良好，不计空气阻力，g取10m/s²．求：
（1）离开磁场后，导体棒ab上升的最大高度离磁场边缘高度h．
（2）在磁场中向上运动的过程中，导体棒消耗的最小电功率P．
（3）整个运动过程中电阻只上产生的电热Q．

Answer 1

分析：（1）导体棒离开磁场后上升的过程中，只有重力做功，机械能守恒，即可列式求得h．
（2）导体棒上滑的过程中做减速运动，产生的感应电流减小，则导体棒向上运动至直导轨末端时的功率最小．导体棒刚离开磁场时的速度也为

v0

2

，根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和安培力公式，推导出安培力的表达式，导体棒克服安培力做功的功率等于回路中产生的总的电功率，根据功率分配求解导体棒消耗的最小电功率P．
（3）根据能量守恒求出回路中产生的总的焦耳热，再求解电阻上产生的电热Q．

解答：解：（1）导体棒从最高点返回到磁场边界的过程中，由机械能守恒得：mgh=

1

2

m(

v0

2

)2…①
则导体棒上升的最大高度距磁场边缘高为：h=

v 2 0

8g

…②
（2）由题意可知，导体棒向上运动至直导轨末端时的功率最小，这个功率被电阻R和导体棒按阻值分配，导体棒在磁场边界之外的运动过程中机械能守恒，可知导体棒刚离开磁场时的速度为

v0

2

，则导体棒向上运动至直导轨末端时感应电动势为：E=Bd

v0

2

…③
 感应电流为：I=

E

R+ R 2

…④
安培力为：F=BId…⑤
解得：F=

B2d2v0

3R

…⑥
根据功能关系得知，回路中产生的总的电功率：P_电=F?

v0

2

根据电阻的关系得，导体棒消耗的最小电功率：P=

1

3

F?

v0

2

…⑦
联立解得：P=

B2d2 v 2 0

18R

…⑧
（3）由能量守恒可知整个运动过程中，回路中产生的总电热为：Q=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

m(

v0

2

)2-2μmglcosθ…⑨
故电阻上产生的电热：Q=

2

3

Q=

1

4

m

v

2 0

-

4

3

μmglcosθ
答：（1）离开磁场后，导体棒ab上升的最大高度离磁场边缘高度h是

v 2 0

8g

．
（2）在磁场中向上运动的过程中，导体棒消耗的最小电功率P是

B2d2 v 2 0

18R

．
（3）整个运动过程中电阻只上产生的电热Q是

1

4

m

v

2 0

-

4

3

μmglcosθ．

点评：本题是电磁感应与力学知识的综合，推导安培力的表达式，分析功与能的关系是解题的关键．