Question

14．如图所示的平面直角坐标系xoy，在第Ⅳ象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴负方向；在第Ⅰ象限的ac右侧区域内有匀强磁场，ac垂直于x轴，方向垂直于xoy平面向外，ab长为L，且ac边与y轴平行．一质量为m、电荷量为q的负粒子，从y轴上的P（0，-h）点，以大小为v₀的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a（2h，0）点进入第Ⅰ象限，又经过磁场从b点离开磁场，不计粒子所受的重力．求：
（1）电场强度E的大小；
（2）粒子到达a点时速度的大小和方向；
（3）ac右侧区域内磁场的磁感应强度B的大小．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，水平位移和竖直位移均已知，由牛顿第二定律和运动学公式，运用运动的分解法可求出场强大小E；
（2）由速度的合成法求出粒子到达a点时速度大小和方向；
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，作出轨迹，由几何知识求出半径，由牛顿第二定律列式即可求出磁感应强度大小．

解答 解：（1）粒子在第电场内做类平抛运动，设类平抛运动的时间为t₁，则
水平方向有：2h=v₀t₁
竖直方向有：h=$\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t}_{1}^{2}$   
联立解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qh}$      
（2）设粒子到达a点时时竖直方向的速度v_y
则有：v_y=at₁=$\frac{qE}{m}$t₁
联立解得：v_y=v₀
所以粒子到达a点时速度大小为v=$\sqrt{2}$v₀
与x轴的夹角为θ，由几何关系得：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=1，
所以θ=45°；
（3）进入磁场后做匀速圆周运动，轨迹如图所示：

结合几何关系，有：r=Lsin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}L$
洛仑兹力提供向心力，故：
$qvB=m\frac{v^2}{r}$
联立解得：B=$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$
答：（1）电场强度E的大小为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qh}$；
（2）粒子到达a点时速度的大小为$\sqrt{2}{v}_{0}$，与+x轴成45°斜向右上；
（3）ac右侧区域内磁场的磁感应强度B的大小为$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$．

点评 该题考查了有边界电磁场的问题，在电场中的偏转，利用平抛运动的知识求解；粒子在有边界的匀强磁场中运动，利用几何关系求解运动半径和转过的圆心角是解决问题的关键．