Question

6．未来我国将在海南航天发射场试验登月工程，我国宇航员将登上月球．已知万有引力常量为G，月球表面的重力加速度为g，月球的平均密度为ρ，月球可视为质量分布均匀的球体（球体体积计算公式V=$\frac{4}{3}$πR³）．求：
（1）月球的半径R及质量M；
（2）探月卫星在靠近月球表面做匀速圆周运动的环绕速度v．

Answer 1

分析 月球表面的重力与万有引力相等，绕月球圆周运动的向心力由万有引力提供，据此列式计算．

解答 解：（1）设月球半径为R，有：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg  …①
月球的质量为：M=$ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}$  …②
由①②得：R=$\frac{3g}{4πρG}$；M=$\frac{9{g}^{3}}{16{π}^{2}{ρ}^{2}{G}^{3}}$ …③
（2）万有引力提供向心力：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$  …④
由①②得：R=$\frac{3g}{4πρG}$   …⑤
由④⑤得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{3{g}^{2}}{4πρG}}$ …⑥
答：（1）月球的半径为$\frac{3g}{4πρG}$，质量为$\frac{9{g}^{3}}{16{π}^{2}{ρ}^{2}{G}^{3}}$；
（2）嫦娥四号探月卫星在近月球表面做匀速圆周运动的环绕速度为$\sqrt{\frac{3{g}^{2}}{4πρG}}$．

点评 月球表面的重力与万有引力相等，卫星绕月球做圆周运动万有引力提供圆周运动的向心力，这个是万有引力问题经常用的表达式．