Question

如图甲所示，间距为L、足够长的固定光滑平行金属导轨MN、PQ 与水平面成θ角，左端M、P之间连接有电流传感器和阻值为R 的定值电阻．导轨上垂直停放一质量为m、电阻为r的金属杆ab，且与导轨接触良好，整个装置处于磁感应强度方向垂直导轨平面向下、大小为B 的匀强磁场中．在t=0时刻，用一沿MN方向的力斜向上拉金属杆ab，使之从磁场的左边界由静止开始斜向上做直线运动，电流传感器将通过R 的电流i即时采集并输入电脑，可获得电流i随时间t变化的关系图线，电流传感器和导轨的电阻及空气阻力均忽略不计，重力加速度大小为g．
（1）若电流i 随时间t 变化的关系如图乙所示，求t时刻杆ab 的速度υ大小；
（2）在（1）问的情况下，请判断杆ab的运动性质，并求t 时刻斜向上拉力的功率P；
（3）若电流i随时间t 变化规律为i=I_msin

2π

T

t，则在0～1/2T时间内斜向上拉力对杆ab做的功W．

Answer 1

分析：（1）由乙图看出，i与t成正比，由数学知识可写出i与t的关系式，由e=BLv和闭合电路欧姆定律求出t时刻杆ab的速度v；
（2）根据速度-时间关系式，分析杆ab的运动性质，由速度公式求出杆的加速度大小．杆向上运动的过程中，由牛顿第二定律列式拉力的功率P的大小．
（3）由位移为 x=-Acos

2π

T

，对位移求导数得到速度的表达式，分析得出杆ab做简谐运动，求电流的有效值，根据焦耳定律求解整个回路产生的热量，再根据功能关系和动能定理求解拉力对杆ab做的功W．

解答：解：（1）由乙图可知，t=t₁时刻电路中的感应电流为I₁，则t时刻，电流为：i=

I1

t1

t…①
杆ab切割磁感线产生的感应电动势为：e=BLv…②
根据闭合电路欧姆定律有：e=i（R+r）…③
由①②③式解得：v=

I1(R+r)

BLt1

t…④
（2）由于

I1(R+r)

BLt1

是常量，所以杆ab做匀加速直线运动，其加速度大小为：a=

v

t

=

I1(R+r)

BLt1

…⑤
设t时刻拉力大小为F，根据牛顿第二定律有：F-BiL-mgsinθ=ma…⑥
又 P=Fv…⑦
得：P=

I 2 1 (R+r)

t 2 1

t2+[gsinθ+

I1(R+r)

BLt1

]

mI1(R+r)

BLt1

t…⑧
（3）设位移x=-Acos

2π

T

t，由导数的物理意义可知，有：v=A?

2π

T

sin

2π

T

t…⑨
由BLv=i（R+r）及i=I_msin

2π

T

t得：v=

Im(R+r)

BL

sin

2π

T

t…⑩
可见，杆ab做简谐运动，所以振幅为：A=

Im(R+r)T

2πBL

…（11）
在0～

1

2

T时间内，整个回路产生的焦耳热为：
Q=（

Im

2

）²（R+r）?

1

2

T…（12）
安陪力对杆ab做的功为：W₂=-Q…（13）
根据动能定理有：W+W₁+W₂=

1

2

mv2-0…（14）
联立以上四式得：W=

mgIm(R+r)Tsinθ

πBL

+

1

4

I

2 m

(R+r)T…（15）
答：（1）若电流i 随时间t 变化的关系如图乙所示，t时刻杆ab 的速度υ大小为

I1(R+r)

BLt1

t；
（2）在（1）问的情况下，杆ab做匀加速直线运动，t时刻斜向上拉力的功率P为

I 2 1 (R+r)

t 2 1

t2+[gsinθ+

I1(R+r)

BLt1

]

mI1(R+r)

BLt1

t；
（3）若电流i随时间t 变化规律为i=I_msin

2π

T

t，则在0～1/2T时间内斜向上拉力对杆ab做的功W为

mgIm(R+r)Tsinθ

πBL

+

1

4

I

2 m

(R+r)T．

点评：本题的关键首先要运用数学知识写出电流与时间的关系，还考查了牛顿运动定律、闭合电路殴姆定律，安培力公式、感应电动势公式．