Question

如图所示，六段相互平行的金属导轨在同一水平面内，长度分别为L和2L，宽间距的导轨间相距均为2L、窄间距的导轨间相距均为L，最左端用导线连接阻值为R的电阻，各段导轨间均用导线连接，整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中．质量为m的导体棒可在各段导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直．导轨和导体棒电阻均忽略不计．现使导体棒从ab位置以初速度v₀垂直于导轨向右运动，则



（1）若导体棒在大小为F、沿初速度方向的恒定拉力作用下运动，到达cd位置时的速度为v，求在此运动的过程中电路产生的焦耳热．
（2）若导体棒在水平拉力作用下向右做匀速运动，求导体棒运动到cd位置的过程中，水平拉力做的功和电路中电流的有效值．
（3）若导体棒向右运动的过程中不受拉力作用，求运动到cd位置时的速度大小．

Answer 1

（1）设产生的焦耳热为Q，由功能关系有9FL=Q+(

1

2

mv2-

1

2

m

v

20

)
解得  Q=9FL+

1

2

m

v

20

-

1

2

mv2
（2）导体棒在宽间距和窄间距轨道上运动时，电路中产生的感应电流分别为I1=

2BLv0

R

      I2=

BLv0

R

导体棒受到的拉力分别为F₁=F_安=2BI₁L    F₂=BI₂L 
拉力做功分别为  W₁=3F₁LW₂=6F₂L
则水平拉力做的功 W=W1+W2=

18B2L3v0

R

设电流的有效值为I，由功能关系有W=I²Rt
其中  t=

9L

v0

解得  I=

2 BLv0

R

（3）设导体棒在每段宽间距和窄间距轨道上运动速度变化的大小分别为△v₁和△v₂，在宽间距轨道上，根据牛顿第二定律，在t～t+△t时间内有△v=

F

m

△t
则  △v1=Σ

2BL

m

I△t
而△q=I△tq1=

. E

R

?△t1=

△?1

R

则  △v1=

4B2L3

Rm

同理  △v2=

2B2L3

Rm

所以导体棒运动到cd位置时的速度大小v′=v0-3(△v1+△v2)=v0-

18B2L3

mR

．
答：（1）在此运动的过程中电路产生的焦耳热为Q=9FL+

1

2

m

v

20

-

1

2

mv2．
（2）水平拉力做的功

18B2L3v0

R

，电路中电流的有效值I=

2 BLv0

R

．
（3）运动到cd位置时的速度大小v0-

18B2L3

mR

．