Question

3．如图所示，一质量为m的小球置于半径为R的光滑竖直圆轨道最低点A处，B为轨道最高点，C、D为圆的水平直径两端点．轻质弹簧的一端固定在圆心O点，另一端与小球栓接，已知弹簧的劲度系数为$k=\frac{mg}{R}$，原长为L=2R，弹簧始终处于弹性限度内，若给小球一水平初速度v₀，已知重力加速度为g，则（　　）

• A． 无论v₀多大，小球均不会离开圆轨道
• B． 若在$\sqrt{2gR}＜{v_0}＜\sqrt{5gR}$则小球会在B、D间脱离圆轨道
• C． 只要${v}_{0}＞2\sqrt{gR}$，小球就能做完整的圆周运动
• D． 只要小球能做完整圆周运动，则小球与轨道间最大压力与最小压力之差与v₀无关

Answer 1

分析 AB、在轨道的任意位置对小球受力分析，比较弹簧的弹力于重力在半径方向上的分力的大小，即可得知选项AB的正误．
C、利用机械能守恒定律可解的小球做圆周运动时在最低点的速度，由此可判知选项C的正误．
D、根据向心力的公式分别列出在最高点和最低点赶到对小球的压力，结合小球在运动过程中机械能守恒，即可推导出压力之差的表达式，从而可知选项D的正误．

解答 解：AB、因弹簧的劲度系数为$k=\frac{mg}{R}$，原长为L=2R，所以小球始终会受到弹簧的弹力作用，大小为F=K（l-R）=KR=mg，方向始终背离圆心，无论小球在CD以上的哪个位置速度为零，重力在沿半径方向上的分量都小于等于弹簧的弹力（在CD以下，轨道对小球一定有指向圆心的支持力），所以无论v₀多大，小球均不会离开圆轨道，选项A正确，选项B错误．
C、小球在运动过程中只有重力做功，弹簧的弹力和轨道的支持力不做功，机械能守恒，当运动到最高点速度为零，在最低点的速度最小，有：
$\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$=2mgR，解得：v₀=2$\sqrt{gR}$，所以只要${v}_{0}＞2\sqrt{gR}$，小球就能做完整的圆周运动，选项C正确．
D、在最低点时，设小球受到的支持力为N，有：
N-KR-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：N=2mg+m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$…①
运动到最高点时受到轨道的支持力最小，设为N′，设此时的速度为v，由机械能守恒有：
$\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$…②
此时合外力提供向心力，有：
N′-KR+mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…③
联立②③解得：N′=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$-4mg…④
联立①④得压力差为：△N=6mg，与初速度无关，选项D正确．
故选：ACD

点评 该题涉及到的指示点较多，解答中要注意一下几点：
1、正确的对物体进行受力分析，计算出沿半径方向上的合外力，利用向心力公式进行列式．
2、注意临界状态的判断，知道临界状态下受力特点和运动的特点．
3、熟练的判断机械能守恒的条件，能利用机械能守恒进行列式求解．