Question

12．如图所示，在直角坐标系的第Ⅰ、Ⅱ象限分布着方向水平向左的匀强电场，Ⅲ、Ⅳ象限分布着竖直向上的匀强电场，电场强度大小相等．Ⅲ、Ⅳ象限还分布着垂直纸面向里、磁感应强度为B=$\sqrt{2}$T的匀强磁场．现从电场中A（0.4m，0.4m）点由静止释放一质量m=0.1kg，q=0.5C的带正电微粒，该微粒第一次进入磁场时恰过O点，g=10m/s²，求：
（1）匀强电场的电场强度E的大小；
（2）微粒进入磁场做何运动，第一次离开磁场时的位置B坐标及从A到B点所用时间；
（3）微粒第一、二次射入磁场位置间距离．

Answer 1

分析 （1）根据微粒从A由静止运动到O点，结合微粒受到电场力与重力，即可判定运动情况，再依据F=qE，即可求解电场强度；
（2）根据电场力等于重力，则有微粒进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，结合进入的速度大小与方向，并由半径公式，从而求得B坐标，再由周期公式，结合圆弧对应的圆心角，即可求解；
（3）根据电场力与重力大小与方向，从而确定微粒的运动情况，进而确定微粒第二次进入磁场的位置，最后求得两者间距．

解答 解：（1）微粒由A点静止运动到O点，因A坐标（0.4m，0.4m），
因此可判定微粒做匀加速直线运动，且重力大小等于电场力，
即mg=qE，
解得：E=$\frac{mg}{q}$=$\frac{0.1×10}{0.5}$=2V/m；
（2）根据带正电微粒，当进入磁场时，则受到竖直向上的电场力，与重力恰好平衡，
那么受到洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，
由运动学公式，微粒进入磁场的速度v=$\sqrt{2ax}$=$\sqrt{2×\sqrt{2}g×0.4\sqrt{2}}$=4m/s；
且速度方向与x轴夹角为45°；
根据半径公式r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{0.1×4}{0.5×\sqrt{2}}$=0.4$\sqrt{2}$m
由于微粒以45°进入磁场，则在磁场中运动轨迹为$\frac{3}{4}$圆，
那么OB间距为d=$\sqrt{2}$r=0.8m
即第一次离开磁场时的位置B坐标（0.8，0）
从O到B点所用时间t₂=$\frac{3}{4}T$=$\frac{3}{4}×\frac{2π×0.1}{0.5×\sqrt{2}}$≈0.67s；
而从A到O点的时间为t₁=$\frac{v}{a}=\frac{4}{\sqrt{2}×10}$=0.28s
因此从A到B点所用时间t=0.67+0.28=0.95s
（3）当微粒以4m/s的速度与x轴夹角为45°，进入电场后，受到与速度方向垂直，大小为$\sqrt{2}$g加速度做类平抛运动，将运动分解成竖直方向与水平方向，
则有：v_y=gt
解得：t=$\frac{4×\frac{\sqrt{2}}{2}}{10}$=0.2$\sqrt{2}$s；
因此在电场力方向，发生位移为x=v_xt+$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$2\sqrt{2}×0.2\sqrt{2}+\frac{1}{2}×10×（0.2\sqrt{2}）^{2}$=1.2m
那么第一、二次射入磁场位置间距离为△d=1.2-0.8=0.4m
答：（1）匀强电场的电场强度E的大小2V/m；
（2）微粒进入磁场做匀速圆周运动，第一次离开磁场时的位置B坐标（0.8m，0）
及从A到B点所用时间0.95s；
（3）微粒第一、二次射入磁场位置间距离0.4m．

点评 本题重点是画出带电粒子的运动轨迹，当是类平抛运动时，则可分解成沿电场强度方向是匀加速，垂直电场强度方向是匀速．当是圆周运动时，可由几何关系去找到已知长度与半径的关系，最终能求出结果．