Question

3．半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合．转台以一定角速度ω匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°．重力加速度大小为g．
（1）若ω=ω₀，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω₀；
（2）ω=$\sqrt{\frac{2g}{25R}}$，求小物块受到的摩擦力大小和方向．

Answer 1

分析 （1）若ω=ω₀，小物块受到的摩擦力恰好为零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出角速度的大小．
（2）当ω=$\sqrt{\frac{2g}{25R}}$＜ω₀，重力和支持力的合力大于向心力，则摩擦力的方向沿罐壁切线向上，根据牛顿第二定律求出摩擦力的大小．

解答 解：（1）当摩擦力为零，支持力和重力的合力提供向心力，有：
mgtan$θ=mRsinθ{{ω}_{0}}^{2}$，解得
${ω_0}=\sqrt{\frac{2g}{R}}$
（2）当ω=$\sqrt{\frac{2g}{25R}}$时，需要的向心力比较小，摩擦力方向沿罐壁切线向上，
根据牛顿第二定律得，Ncos30°-fcos60°=mRsin60°ω²．
mg=Nsin30°+fsin60°
联立两式解得．$f=\frac{12\sqrt{3}}{25}mg$，$N=\frac{26}{25}mg$
答：（1）小物块受到的摩擦力恰好为零时，${ω}_{0}=\sqrt{\frac{2g}{R}}$．
（2）当ω=$\sqrt{\frac{2g}{25R}}$时，摩擦力方向沿罐壁切线向上，大小为$\frac{12\sqrt{3}}{25}mg$．

点评 解决本题的关键搞清物块做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律，抓住竖直方向上合力为零，水平方向上的合力提供向心力进行求解．