Question

【题目】如图所示，光滑的水平面AB与半径R=0.5m的光滑竖直半圆轨道BCD在B点相切，D点为半圆轨道最高点，A点的右侧连接一粗糙的水平面，用细线连接甲、乙两物体，中间夹一轻质压缩弹簧，弹簧与甲、乙两物体不拴接，甲的质量m1=4kg，乙的质量m2=5kg，甲、乙均静止。若烧断细线，甲离开弹簧后经过B点进入半圆轨道，过D点时对轨道的压力恰好为零。取g=10m/s2。甲、乙两物体可看做质点，求：

(1)甲离开弹簧后经过B点时的速度的大小vB；

(2)烧断细线吋弹簧的弹性势能EP；

(3)若固定甲，将乙物体换为质量为m的物体丙，烧断细线，丙物体离开弹簧后从A点进入动摩擦因数μ=0.5的粗糙水平面，AF是长度为4l的水平轨道，F端与半径为l的光滑半圆轨道FCH相切，半圆的直径FH竖直，如图所示.设丙物体离开弹簧时的动能为6mgl，重力加速度大小为g，求丙物体离开圆轨道后落回到水平面BAF上的位置与F点之间的距离s；

(4)在满足第(3)问的条件下，若丙物体能滑上圆轨道，且能从GH间离开圆轨道滑落（G点为半圆轨道中点)，求丙物体的质量的取值范围

Answer 1

【答案】(1)5m/s；（2）90J；（3）s=4l； （4）

【解析】

（1）甲在最高点D，由牛顿第二定律，有

甲离开弹簧运动到D点的过程机械能守恒：

联立解得：vB=5m/s；

（2）烧断细线时动量守恒：0=m1v3-m2v2

由于水平面AB光滑，则有v1=vB=5m/s，解得：v2=4m/s

根据能量守恒，弹簧的弹性势能E==90J

（3）甲固定，烧断细线后乙物体减速运动到F点时的速度大小为vF，

由动能定理得：，解得vF=2

从P点滑到H点时的速度为vH，由机械能守恒定律得

联立解得vM=2

由于vM=2>，故乙物体能运动到H点，并从H点以速度vH水平射出。设乙物体回到轨道AF所需的时间为t，由运动学公式得：

乙物体回到轨道AF上的位置与B点之间的距离为s=vHt

联立解得；

（4）设乙物体的质量为M，到达F点的速度大小为vF，

由动能定理得：，解得vF=

为使乙物体能滑上圆轨道，从GH间离开圆轨道，满足的条件是：

一方面乙物体在圆轨道上的上升高度能超过半圆轨道的中点G，由能量关系有：

另一方面乙物体在圆轨道的不能上升到圆轨道的最高点H，由能量关系有

联立解得：