Question

如图所示，质量为M的小球用长为R=0.45m的细绳固定于O点，从A（与O点等高）处由静止释放，与O点正下方B点处质量为

M

2

的物块弹性正碰．重力加速度g=10m/s²
1）求小球碰后能上升的高度h
2）已知粗糙水平地面BC及传送带的动摩擦因数均为μ=0.2，传送带长为l=0.5m，顺时针匀速转动，速度大小为υ=2m/s，DE、EF、FH的长度均为S=0.4m．若要保证物块碰后能落入FH间的沙坑内，求BC间的长度L．

Answer 1

分析：（1）小球摆至B点碰前速度为υ₀，由机械能守恒求出υ₀，小球与物块弹性正碰，动量和机械能守恒，小球碰后上升至高度h的过程机械能守恒，根据动量守恒定律及机械能守恒定律列式即可求解；
（2）物块从D点飞出后做平抛运动，根据平抛运动的特点求出抛出时初速度的范围，分此速度与传送带速度的关系进行讨论即可求解．

解答：解：（1）小球摆至B点碰前速度为υ₀，由机械能守恒得：MgR=

1

2

Mv02①
代人数据解得：v0=

2gR

=3m/s②
小球与物块弹性正碰，设碰后速度分别为有υ₁、υ₂，
有：Mv0=Mv1+

1

2

Mv2③

1

2

Mv02=

1

2

Mv12+

1

2

(

1

2

M)v22④
联立②③④解得：v₁=1m/s，v₂=4m/s，
有：

1

2

Mv12=Mgh
代人数据解得：h=0.05m
（2）设物块从D点以速度υ_D做平抛落入沙坑，时间为t，有：
s=

1

2

gt2
x=vDt 
由题知：0.4m≤x≤0.8m
可解得：

2

m/s≤vD≤2

2

m/s
讨论：Ⅰ）当vD=2

2

m/s＞v0，物块在传送带上一定做匀减速运动，此时C点速度最大为v₃，
由vD2-v32=-2μgl
得：v3=

10

m/s
Ⅱ）当vD=

2

m/s＜v0，物块在传送带上一定做匀加速运动，此时C点速度最小为v₄，
由vD2-v42=2μgl得：v₄=0          
物块要滑上传送带，则v_C＞0，故0＜vC≤

10

m/s        ⑤
物块从B到C，由动能定理得：-2μ

M

2

g(L+0.5)=

1

2

M

2

vC2-

1

2

M

2

v22         ⑥
联立⑤⑥得：1.5m≤L＜4m                
答：（1）求小球碰后能上升的高度为0.05m；
（2）BC间的长度L的范围为1m≤L＜4m．

点评：本题主要考查了动量守恒定律、机械能守恒定律及平抛运动基本规律的直接应用，第二问要分情况讨论物体的运动情况，难度适中．