Question

如图所示，一轻绳吊着粗细均匀的棒，棒下端离地面高H，上端套着一个细环．棒和环的质量均为m，相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力kmg（k＞1）．断开轻绳，棒和环自由下落．假设棒足够长，与地面发生碰撞时，触地时间极短，无动能损失．棒在整个运动过程中始终保持竖直，空气阻力不计．求：
（1）棒第一次与地面碰撞弹起上升过程中，环和棒的加速度．
（2）从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间，棒运动的路程s．
（3）与地面第二次碰撞前要使环不脱离棒，棒最少为多长？
（4）从断开轻绳到棒和环都静止，要使环不脱离棒，棒最少为多长？

Answer 1

分析：（1）棒第一次与地面碰撞弹起上升过程中，环由于惯性继续向下运动，受到向上的滑动摩擦力，大小为kmg，棒向上运动，受到向下的滑动摩擦力，大小为kmg，故可以根据牛顿第二定律分别求出环和棒的加速度．
（2）棒运动的总路程为原来下降的高度H，加上第一次上升高度的两倍，对棒受力分析可以求得棒的加速度的大小，在由运动学公式可以求得上升的高度．
（3）弹起后，环的运动由两个过程构成，一个是向下的匀减速，另一个是向上的匀加速直到与棒的速度相等，根据运动学公式求出两者相对滑动距离，即等于棒最少长度．
（4）据能量守恒列式，求出棒最少为长度．

解答：解：（1）第一次碰地后，环和棒的加速度大小分别是
a_环=

kmg-mg

m

=（k-1）g，竖直向上．
a_棒=

kmg+mg

m

=（k+1）g．竖直向下．
（2）落地及反弹的瞬时速度大小v₁=

2gH

，a_棒=（k+1）g，竖直向下，
 匀减速上升高度s₁=

v2

2a棒

，
而s=H+2s₁．
解得s=

k+3

k+1

H
（3）设经过时间t₁达到共速v₁′，方向向下．以向下为正方向，
  v₁′=v₁-a_环t₁=-v₁+a_棒t₁，
解得t₁=

v1

kg

，v₁′=

v1

k

，
该过程棒上升的高度h1=

v1-v1′

2

t1=

k-1

k2

H
环下降的高度h₂=

v1+v1′

2

t1=

k+1

k2

H，相对滑动距离x₁=h₁+h₂=

2H

k

．
故棒最少长度为

2H

k

（4）设从断开轻绳到棒和环都静止，要使环不脱离棒，棒最少为l．根据能量守恒 mgH+mg（H+l）=kmgl
  解得l=

2H

k-1

答：（1）棒第一次与地面碰撞弹起上升过程中，环和棒的加速度分别为（k-1）g，竖直向上和（k+1）g．竖直向下．
（2）从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间，棒运动的路程s为

k+3

k+1

H：
（3）与地面第二次碰撞前要使环不脱离棒，棒最少为

2H

k

．
（4）从断开轻绳到棒和环都静止，要使环不脱离棒，棒最少为

2H

k-1

．

点评：本题综合性较强，涉及多过程运动分析，难点在于分析棒和环的相对运动，进而得出位移．