Question

18．如图所示，足够长的光滑斜面BC倾角为θ，固定面AB垂直于斜面．在斜面上放置质量为m的长木板，木板中央放置质量为m的小物块，木板和小物块间的动摩擦因数μ=$\frac{3}{2}$tanθ，现同时给木板和小物块沿斜面向上的初速度v₀．假设木板与固定面AB发生碰撞的时间极短，碰撞前后瞬间速率相等，运动过程中小物块始终没有从木板上滑落．已知重力加速度为g，求：
（1）木板第一次上升的最大高度；
（2）木板第二次与固定面AB发生碰撞时的速率；
（3）为使小物块和固定面AB不发生碰撞，求木板长度的最小值．

Answer 1

分析 （1）木板和小物块第一次上升过程中，无相对运动，木板机械能守恒，可求得最大高度．
（2）木板与AB发生第一次碰撞前，木板和小物块均无相对运动，且机械能守恒．木板与AB发生第一次碰撞后仍以速度v₀向上减速运动，小物块则以速度v₀向下减速运动．由牛顿第二定律求得两者的加速度．分析木板的运动情况，求出第一次碰撞后两者速度相等所用时间，再速度位移公式求木板上滑的距离和木板上滑的距离，从而分析两者的运动情况，再得到木板第二次与固定面AB发生碰撞时的速率．
（3）临界状态为木板与固定面AB接触时，木板、小物块速度均为零，且物块处于木板底端．对全过程运用能量守恒定律求解．

解答 解：（1）木板和小物块第一次上升过程中，无相对运动，木板机械能守恒，有      
  $mgh=\frac{1}{2}mv_0^2$
解得$h=\frac{v_0^2}{2g}$
（2）木板与AB发生第一次碰撞前，木板和小物块均无相对运动，且机械能守恒．木板与AB发生第一次碰撞后仍以速度v₀向上减速运动，小物块则以速度v₀向下减速运动．设此时木板上滑、小物块下滑的加速度大小分别为a₁、a₂，由牛顿第二定律有
  mgsinθ+μmgcosθ=ma₁
  μmgcosθ-mgsinθ=ma₂
因为a₁＞a₂，所以木板先减速到零．之后小物块仍以加速度a₂向下减速，木板则以加速度a₁向下加速．设沿斜面向下为正方向，速度相等时的速度为v，所用时间为t，有
 v=-v₀+a₁t
 v=v₀-a₂t
解得$v=\frac{2}{3}{v_0}≈0.66{v_0}$
木板上滑的距离  ${x_1}=\frac{v_0^2}{{2{a_1}}}=\frac{v_0^2}{5gsinθ}$
木板下滑的距离${x_2}=\frac{{{{（\frac{2}{3}v_0^{\;}）}^2}}}{{2{a_1}}}=\frac{4v_0^2}{45gsinθ}$
$△x={x_1}-{x_2}=\frac{v_0^2}{9gsinθ}$
此后木板和小物块共同向下匀加速运动，直至木板第二次与AB发生碰撞，设木板第二次与AB发生碰撞时的速率为v₂
则
  $\begin{array}{l}v_2^2-{（\frac{2}{3}{v_0}）^2}=2gsinθ△x\\{v_2}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}{v_0}\end{array}$
（3）临界状态为木板与固定面AB接触时，木板、小物块速度均为零，且物块处于木板底端．对全过程进行分析，由能量守恒定律有   $\frac{1}{2}•2mv_0^2+mg\frac{L}{2}sinθ=μmgcosθ•\frac{L}{2}$
解得$L=\frac{4v_0^2}{gsinθ}$．
答：
（1）木板第一次上升的最大高度是$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$；
（2）木板第二次与固定面AB发生碰撞时的速率是$\frac{\sqrt{6}}{3}{v}_{0}$；
（3）为使小物块和固定面AB不发生碰撞，木板长度的最小值是$\frac{4{v}_{0}^{2}}{gsinθ}$．

点评 本题是两个物体多个过程的问题，分析物体的运动过程是基础，把握临界条件是解题的关键，解题的基本规律是牛顿第二定律和运动学公式．